Факториалы: что это такое, как их вычислить и примеры

9 апреля 2021 г.

Факториалы могут быть просты в вычислении и иметь множество практических применений в реальном мире. Например, некоторые компании используют факториалы для просмотра перестановок и комбинаций в деловых целях, например, для определения количества грузовиков, необходимых для снабжения их магазинов в каждом районе. Вы можете использовать математические задачи с факториалами, если вы работаете в сфере логистики или работаете в такой отрасли, как финансы или программное обеспечение.

В этой статье мы обсудим, что такое факториал, как вычислить факториал, приведем примеры проблем с факториалом и ответим на часто задаваемые вопросы о факториале.

Что такое факториал?

Факториал — это функция в математике со знаком (!), которая умножает число (n) на каждое предшествующее ему число. Проще говоря, функция факториала предлагает умножить все целые числа из выбранного числа на единицу. Говоря более математическим языком, факториал числа (n!) равен n(n-1). Например, если вы хотите вычислить факториал для четырех, вы должны написать:

4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24.

Вы можете использовать факториалы, чтобы найти количество способов, которыми можно расположить (n) объектов. Когда порядок каждого элемента имеет значение, например, когда вы обсуждаете пароль к сейфу, это перестановка. Когда порядок не имеет значения, это комбинация. Например, если вы хотите узнать, сколько комбинаций вы можете составить из трехзначного числа 725, вы должны найти факториал 3!, то есть

3! = 3 х 2 х 1 = 6.

Это означает, что с числом 725 можно составить шесть комбинаций: 725, 752, 572, 527, 275 и 257.

Формула факториала:

н! = п*(п-1)!

Как рассчитать факториал

Вы можете выполнить следующие шаги, чтобы найти факториал:

1. Определяем количество

Определите число, факториал которого вы находите. Факториал состоит из положительного целого числа и восклицательного знака. Например, если вы хотите найти факториал числа восемь, математически это будет выглядеть так:

8!

2. Напишите последовательность

Используя формулу факториала, вы можете записать последовательность чисел, которые вы будете умножать. Это включает в себя число, для которого вы находите факториал, число восемь в этом примере и все числа, последовательно убывающие от него до единицы. Математически хотелось бы так:

н! = п (п-1) =

8 (8 – 1) (8 – 2) (8 – 3) (8 – 4) (8 – 5) (8 – 6) (8 – 7)

3. Умножьте числа

После того, как вы записали последовательность чисел, вы можете перемножить их. Если вы умножите все числа в этом примере, 8 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1, вы получите окончательный ответ 40 320. Математически это выглядит так:

н! = п (п-1) =

8 (8 – 1) (8 – 2) (8 – 3) (8 – 4) (8 – 5) (8 – 6) (8 – 7) =

8 х 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 40 320

Вы также можете вычислить факториал с помощью научного калькулятора. Калькулятор должен иметь кнопку с “x!” знак. Введите число, для которого вы хотите найти факториал, в данном случае число восемь, а затем нажмите «x!» кнопка. Калькулятор должен дать вам тот же ответ, 40 320.

Примеры

Вот несколько примеров задач, в которых используются факториалы:

Пример 1

Задача: Сколькими способами можно расположить буквы в слове «компания», не повторяя их?

В этой задаче подсчитайте количество букв в слове «компания», чтобы найти шесть букв. Затем найдите факториал числа шесть либо вручную, либо с помощью научного калькулятора. Если вы решаете задачу вручную, она должна выглядеть так:

н! = п (п-1) =

6 (6 – 1) (6 – 2) (6 – 3) (6 – 4) (6 – 5) =

6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720

Теперь вы знаете, что максимальное количество способов, которыми можно расположить буквы в слове «компания» без повторов, равно 720.

Пример 2

Задача: Какие сочетания можно составить из красного, синего и зеленого цветов?

В этой задаче найдите факториал числа три, потому что цветов три, и перечислите различные комбинации. Если вы решите эту задачу вручную, она должна выглядеть так:

н! = п (п-1) =

3 (3 – 1) (3 – 2) =

3 х 2 х 1 = 6

Шесть комбинаций:

красный, синий, зеленый

красный, зеленый, синий

зеленый, синий, красный

зеленый, красный, синий

синий, красный, зеленый

синий, зеленый, красный

Пример 3

Задача: найти факториал числа 15.

Хотя эту проблему можно решить вручную, это может занять много времени, поскольку 15 — большое число. Легче использовать научный калькулятор. Чтобы решить эту задачу с помощью калькулятора, следует:

1. Введите число 15 в свой калькулятор.

2. Нажми “х!” кнопку на вашем калькуляторе.

3. На калькуляторе должен появиться ответ 1 307 674 368 000.

Часто задаваемые вопросы о факториалах

Вот несколько ответов на распространенные вопросы о факториалах:

Сможете ли вы найти факториал числа ноль?

Да, вы можете найти факториал для числа ноль. Математики сходятся во мнении, что факториал числа ноль равен единице или 0! =1. Может показаться странным, что 0! =1, но это легко понять, если проследить схему факториалов в обратном порядке. Посмотрите на этот шаблон, начинающийся с 4!:

4! = 24

3! = 6

2! = 2

1! = 1

0! = 1

Вы можете заметить, что каждый ответ делится последовательно, и по мере того, как вы следуете шаблону, он предсказывает следующий ответ и показывает, что 0! =1. Последовательные делимые числа выделены жирным шрифтом:

4! = 24, (24 ÷ 4 = 6)

3! = 6, (6 ÷ 3 = 2)

2! = 2, (2 ÷ 2 = 1)

1! = 1, (1 ÷ 1 = 1)

0! = 1

Сможете ли вы найти факториал отрицательного числа?

Нет, нельзя найти факториал отрицательного числа. Чтобы найти факториал отрицательного целого числа, нужно разделить на ноль. Однако деление на ноль не определено. Следовательно, отрицательные целочисленные факториалы не определены.

Сможете ли вы найти факториал десятичной дроби?

Да, вы можете найти факториал десятичной дроби. Если вы хотите узнать, как найти факториал десятичной дроби, вы можете узнать о гамма-функции, которую также иногда называют «полуфакториалом». Эти проблемы быстро усложняются. Например, факториал для одной половины, или 0,5, равен половине квадратного корня из числа пи, или (-1/2)! = √π.

Каковы первые 15 факториалов?

Как вы можете видеть на этой диаграмме, факториалы растут очень быстро. Может быть полезно использовать научный калькулятор для решения факторных задач, особенно при работе с большими числами.

nn!011122364245120672075,040840,3209362,880103,628,8001139,916,80012479,001,600136,227,020,8001487,178,291,200151,307,6704,001