was sie sind, wie man sie berechnet und Beispiele • BUOM

9. April 2021

Fakultäten können einfach zu berechnen sein und viele praktische Anwendungen in der realen Welt haben. Einige Unternehmen verwenden beispielsweise Fakultäten, um Permutationen und Kombinationen für geschäftliche Zwecke anzuzeigen, beispielsweise um die Anzahl der LKWs zu bestimmen, die zur Belieferung ihrer Filialen in jedem Bereich erforderlich sind. Sie können Mathematikaufgaben mit Fakultäten verwenden, wenn Sie in der Logistik oder in einer Branche wie dem Finanzwesen oder der Softwarebranche arbeiten.

In diesem Artikel besprechen wir, was eine Fakultät ist, wie man eine Fakultät berechnet, geben Beispiele für Probleme mit der Fakultät und beantworten häufig gestellte Fragen zur Fakultät.

Was ist Fakultät?

Eine Fakultät ist eine vorzeichenbehaftete (!) Funktion in der Mathematik, die eine Zahl (n) mit jeder Zahl davor multipliziert. Einfach ausgedrückt fordert Sie die Fakultätsfunktion auf, alle ganzen Zahlen einer ausgewählten Zahl mit eins zu multiplizieren. Mathematischer ausgedrückt ist die Fakultät einer Zahl (n!) n(n-1). Wenn Sie beispielsweise die Fakultät von vier berechnen möchten, würden Sie schreiben:

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Sie können Fakultäten verwenden, um die Anzahl der Möglichkeiten zu ermitteln, mit denen (n) Objekte angeordnet werden können. Wenn die Reihenfolge der einzelnen Elemente wichtig ist, beispielsweise wenn Sie das Passwort für einen Safe besprechen, handelt es sich um eine Permutation. Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt, ist es eine Kombination. Wenn Sie beispielsweise herausfinden möchten, wie viele Kombinationen Sie aus der dreistelligen Zahl 725 bilden können, finden Sie die Fakultät von 3!

3! = 3 x 2 x 1 = 6.

Das bedeutet, dass Sie mit der Zahl 725 sechs Kombinationen bilden können: 725, 752, 572, 527, 275 und 257.

Fakultätsformel:

N! = n*(n-1)!

So berechnen Sie die Fakultät

Sie können diesen Schritten folgen, um die Fakultät zu finden:

1. Bestimmen Sie die Menge

Bestimmen Sie die Zahl, deren Fakultät Sie finden. Eine Fakultät besteht aus einer positiven ganzen Zahl, gefolgt von einem Ausrufezeichen. Wenn Sie beispielsweise die Fakultät von acht ermitteln möchten, sieht das mathematisch so aus:

8!

2. Schreiben Sie eine Sequenz

Mit der Fakultätsformel können Sie die Zahlenfolge aufschreiben, die Sie multiplizieren. Dazu gehören die Zahl, für die Sie die Fakultät ermitteln, in diesem Beispiel die Zahl Acht, und alle Zahlen, die von dieser Zahl fortlaufend auf eins abnehmen. Rechnerisch würde mir das so gefallen:

N! = n (n-1) =

8 (8 – 1) (8 – 2) (8 – 3) (8 – 4) (8 – 5) (8 – 6) (8 – 7)

3. Zahlen multiplizieren

Sobald Sie eine Zahlenfolge aufgeschrieben haben, können Sie diese multiplizieren. Wenn Sie alle Zahlen in diesem Beispiel, 8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1, multiplizieren, erhalten Sie das Endergebnis 40.320. Mathematisch sieht es so aus:

N! = n (n-1) =

8 (8 – 1) (8 – 2) (8 – 3) (8 – 4) (8 – 5) (8 – 6) (8 – 7) =

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320

Sie können die Fakultät auch mit einem wissenschaftlichen Taschenrechner berechnen. Der Rechner sollte eine Schaltfläche mit „x!“ haben. Zeichen. Geben Sie die Zahl ein, für die Sie die Fakultät finden möchten, in diesem Fall die Zahl acht, und drücken Sie dann „x!“. Taste. Der Rechner sollte Ihnen die gleiche Antwort liefern: 40.320.

Beispiele

Hier sind einige Beispiele für Probleme, die Fakultäten verwenden:

Beispiel 1

Problem: Auf wie viele Arten können die Buchstaben im Wort „Firma“ angeordnet werden, ohne sie zu wiederholen?

Zählen Sie in dieser Aufgabe die Anzahl der Buchstaben im Wort „Unternehmen“, um sechs Buchstaben zu finden. Finden Sie dann die Fakultät von sechs, entweder von Hand oder mit einem wissenschaftlichen Taschenrechner. Wenn Sie das Problem manuell lösen, sollte es so aussehen:

N! = n (n-1) =

6 (6 – 1) (6 – 2) (6 – 3) (6 – 4) (6 – 5) =

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Jetzt wissen Sie, dass Sie die Buchstaben im Wort „Unternehmen“ maximal auf 720 Arten anordnen können, ohne sie zu wiederholen.

Beispiel 2

Aufgabe: Welche Kombinationen lassen sich aus Rot, Blau und Grün machen?

Finden Sie in dieser Aufgabe die Fakultät von drei, da es drei Farben gibt, und listen Sie die verschiedenen Kombinationen auf. Wenn Sie dieses Problem manuell lösen, sollte es so aussehen:

N! = n (n-1) =

3 (3 – 1) (3 – 2) =

3 x 2 x 1 = 6

Sechs Kombinationen:

rot, blau, grün

rot grün blau

grün, blau, rot

grün, rot, blau

blau, rot, grün

blau, grün, rot

Beispiel 3

Problem: Finden Sie die Fakultät von 15.

Obwohl dieses Problem manuell behoben werden kann, kann es lange dauern, da 15 eine große Zahl ist. Es ist einfacher, einen wissenschaftlichen Taschenrechner zu verwenden. Um dieses Problem mit einem Taschenrechner zu lösen, sollten Sie:

1. Geben Sie die Zahl 15 in Ihren Taschenrechner ein.

2. Drücken Sie „x!“ Taste auf Ihrem Taschenrechner.

3. Die Antwort auf dem Rechner sollte 1.307.674.368.000 sein.

Häufig gestellte Fragen zu Fakultäten

Hier sind einige Antworten auf häufige Fragen zu Fakultäten:

Können Sie die Fakultät von Null finden?

Ja, Sie können die Fakultät von Null finden. Mathematiker sind sich einig, dass die Fakultät von Null gleich eins oder 0 ist! =1. Es mag seltsam erscheinen, dass 0! =1, aber das ist leicht zu verstehen, wenn man das Muster der Fakultäten in umgekehrter Reihenfolge verfolgt. Schauen Sie sich dieses Muster an, beginnend mit 4!:

4! = 24

3! = 6

2! = 2

1! = 1

0! = 1

Möglicherweise stellen Sie fest, dass jede Antwort der Reihe nach unterteilt ist. Wenn Sie dem Muster folgen, wird die nächste Antwort vorhergesagt und 0 angezeigt! =1. Aufeinanderfolgende teilbare Zahlen sind fett gedruckt:

4! = 24, (24 ÷ 4 = 6)

3! = 6, (6 ÷ 3 = 2)

2! = 2, (2 ÷ 2 = 1)

1! = 1, (1 ÷ 1 = 1)

0! = 1

Können Sie die Fakultät einer negativen Zahl finden?

Nein, Sie können die Fakultät einer negativen Zahl nicht finden. Um die Fakultät einer negativen ganzen Zahl zu ermitteln, dividieren Sie durch Null. Die Division durch Null ist jedoch nicht definiert. Daher sind negative ganzzahlige Fakultäten nicht definiert.

Können Sie die Fakultät einer Dezimalzahl finden?

Ja, Sie können die Fakultät einer Dezimalzahl ermitteln. Wenn Sie wissen möchten, wie Sie die Fakultät einer Dezimalzahl ermitteln, können Sie sich über die Gammafunktion informieren, die manchmal auch „Halbfaktoriell“ genannt wird. Diese Probleme werden immer komplexer. Beispielsweise ist die Fakultät für die Hälfte oder 0,5 gleich der Hälfte der Quadratwurzel von Pi oder (-1/2)! = √π.

Was sind die ersten 15 Fakultäten?

Wie Sie in dieser Grafik sehen können, wachsen die Fakultäten sehr schnell. Insbesondere bei der Arbeit mit großen Zahlen kann es hilfreich sein, einen wissenschaftlichen Taschenrechner zur Lösung von Faktorproblemen zu verwenden.

nn!011122364245120672075,040840,3209362,880103,628,8001139,916,80012479,001,600136,227,020,8001487,178,291,200151,307,6704, 001