Как рассчитать объем трехмерных фигур (с примерами)

Геометрические понятия, такие как площадь поверхности и вместимость, являются важными приложениями во многих сферах деятельности. Инженеры, графические дизайнеры, аниматоры и другие специалисты по визуальному дизайну часто измеряют объем и другие показатели для разработки планов, чертежей и рисунков для визуальных процессов и продуктов. Для расчета объема также требуются разные формулы, в зависимости от измеряемой цифры. В этой статье мы рассмотрим, что такое объем трехмерной фигуры, чем он отличается от площади поверхности и как рассчитать объем различных твердых тел с помощью нескольких примеров.

Что такое объем?

Объем измеряет вместимость объекта. Это показатель для 3D-моделирования, который применяется во многих областях, включая проектирование и черчение, графический дизайн и разработку продуктов. Вычисление объема зависит от формы объекта, который вы измеряете, так как разные 3D-фигуры имеют определенные формулы для расчета объема. Кроме того, объем измеряется в кубических единицах, включая метрические и имперские единицы.

Единицей измерения объема является кубическая единица, представляющая три степени измерения трехмерных тел. Поэтому, когда вы берете объем фигуры в сантиметрах, измерением являются кубические сантиметры. Объем применяется как к твердой, так и к жидкой емкости, например, в кубических ярдах, футах, метрах, литрах, миллилитрах и галлонах. Обычно задачи, которые решают для объема, дают вам определенную единицу измерения для использования при нахождении кубических измерений.

Объем против площади

Объем отличается от площади, поскольку он измеряет внутреннюю емкость трехмерной фигуры. Площадь умножает только две стороны фигуры, чтобы получить квадратные единицы, тогда как объем умножает три измерения. Кроме того, площадь применяется только к поверхностному пространству грани фигуры, которая может составлять одну сторону 3D-тела. Площадь поверхности также является частью объема, где трехмерная фигура имеет несколько поверхностей, каждая из которых имеет собственное измерение площади.

Как рассчитать объем объемной фигуры

Используйте следующие шаги, чтобы вычислить объем различных 3D-фигур:

1. Рассчитайте объем куба

Одно обычное измерение объема принимает емкость идеального куба. При измерении объема куба используйте формулу V = s**3, где s представляет собой измерение одной стороны фигуры. Поскольку кубы имеют равные измерения сторон и углов, вы просто возводите измерение стороны в степень трех. Например, куб со стороной 13,5 сантиметра имеет объем (13,5)3 или 2460,375 кубических сантиметра.

2. Вычислить объем прямоугольных призм

Прямоугольные призмы представляют собой фигуры в форме коробки, объем которых определяется путем умножения длины, ширины и высоты или глубины объекта. Объем в математическом выражении равен V = lwh, где l — длина, w — ширина, а h — высота. Например, предположим, что обувная коробка имеет длину 14 дюймов, ширину 6 дюймов и глубину или высоту 4 дюйма. Умножение этих значений в формуле дает объем (14)(6)(4) = 336 кубических дюймов.

3. Рассчитайте объем цилиндра

Цилиндр — это фигура, которая требует использования «пи» (π) для вычисления объема. Поскольку эта трехмерная фигура имеет два круга на каждом конце, радиус также необходим. Формула для расчета объема цилиндра: V = πr2h, где π примерно равно 3,14, r — радиус, а h — высота цилиндра. Например, применение формулы, когда размеры цилиндра составляют 5,5 мм по радиусу и 7,5 мм по высоте, дает приблизительный объем (3,14)(5,5)(5,5)(7,5) = 712,3875 кубических миллиметров.

4. Вычислите объем конуса

Конус – это круглая пирамида, состоящая из круглой грани и цилиндра, сужающегося к вершине. Поскольку конусы имеют круглые грани, измерение числа пи также необходимо для вычисления объема. Используя формулу V = 1/3πr2h и примерные размеры конуса с радиусом 8 и высотой 10 сантиметров, вы получите объем примерно (0,33)(3,14)(8)(8)(10) = 663,168. кубических сантиметров.

5. Рассчитайте объем правильной пирамиды

Пирамиды — это уникальные тела, которые могут быть правильными, с квадратным основанием и четырьмя равносторонними треугольными гранями, или они могут быть неправильными, с прямоугольными основаниями и множеством сторон. Формула объема для измерения правильной пирамиды: V = 1/3bh, где b обозначает размер основания, а h — высоту пирамиды. Умножение этих двух сторон на 1/3 дает объем. Предполагая, что вы хотите измерить твердое тело пирамиды с основанием 5 футов и высотой 9 футов, применение формулы для объема дает (0,33)(5)(9) = 14,85 кубических футов.

6. Вычислите объем сферы

Сферы — это интересные фигуры, для измерения которых также требуется метрика пи. Поскольку у них нет прямых сторон или углов, вы возводите радиус в третью степень для кубического измерения. Формула для расчета объема сферы: V = 4/3πr3, где π равно 3,14, а r — радиус. Например, если у вас есть круглый воздушный шар, который вы хотите наполнить водой, и его радиус увеличился до объема 3 миллилитров, вы можете найти, сколько кубических миллилитров воды он может вместить, умножив (1,33)(3,14)(27) на получить объем примерно 112,7574 кубических миллилитров.

7. Вычислить объем эллипсоида

Эллипсоид — это трехмерное тело эллипса или овала. Поскольку он имеет три линии симметрии, вы умножаете эти главные оси на метрику π и четыре трети, чтобы получить объем. Формула объема эллипсоида: V = 4/3πabc, где a, b и c — главные оси. Применение формулы для примера эллипсоида с размерами осей 4, 6 и 10 сантиметров дает приблизительный объем (1,33)(3,14)(4)(6)(10) = 1002,288 кубических сантиметров.

Примеры расчета объема

Используйте следующие примеры реальных приложений, чтобы применить общие формулы объема:

Пример 1

Большой физкультурно-оздоровительный центр обновляет свой бассейн. Техники осушают бассейн, очищают и ремонтируют поверхности и снова наполняют бассейн. Если длина, ширина и глубина бассейна составляют 15, 6 и 2,5 ярда соответственно, обслуживающий персонал может определить объем бассейна, используя формулу для прямоугольной призмы. Применение уравнения V = lwh дает объем (15)(6)(2,5) = 225 кубических ярдов. Хотя этот объем измеряет только внутреннее пространство бассейна, технические специалисты могут использовать его для оценки того, сколько галлонов воды им нужно для пополнения бассейна.

Пример 2

Художник-ремесленник, который делает фигурки из эпоксидной смолы и смолы, использует форму квадратной пирамиды для некоторых своих изделий. Художник хочет измерить, сколько места у них есть в форме для заполнения порошками, минеральными хлопьями и другими мелкими декоративными элементами. Если форма имеет квадратное основание размером 6 дюймов и высоту 8 дюймов, художник может применить формулу объема для обычной пирамиды, чтобы измерить ее емкость. В формуле V = 1/3bh художник умножает (0,33)(6)(8), чтобы получить объем 15,84 кубических дюйма.