Was sind mathematische Kombinationen und wie berechnet man sie? • BUOM

17. Mai 2021

Kombinationen sind mathematische Zahlen, die Statistiker, Datenanalysten, Softwareentwickler und andere technische Fachleute im Rahmen ihrer Karriere häufig verwenden. Eine Kombination ist eine ungeordnete Ansammlung von Elementen in einer Reihe von Mechanismen und kann in vielen Bereichen verwendet werden, einschließlich Informationstechnologie, Gesundheitswesen, Finanzen und Rechnungswesen. Wenn Sie mehr über Kombinationen erfahren möchten, müssen Sie mehrere Faktoren berücksichtigen.

In diesem Artikel besprechen wir, was Kombinationen sind, welche Formel Sie finden müssen, wie viele Kombinationen Sie haben, wie Sie Kombinationen berechnen und wie sich Kombinationen von Permutationen unterscheiden.

Was ist eine Kombination?

Kombination bezieht sich auf die Anzahl der Anordnungen, die Sie erhalten können, indem Sie eine Stichprobe von Werten oder Elementen aus einer größeren Menge entnehmen. Die Kombinationen, die Sie erstellen können, zeigen, wie viele Teilmengen Sie aus dem gesamten Elementsatz erstellen können. Bei einer mathematischen Kombination ist die Reihenfolge der Elemente nicht wichtig. Das bedeutet, dass Sie Kombinationen in beliebiger Reihenfolge bilden können, obwohl einige Kombinationen zu einer geordneten Reihenfolge und damit zu einer Neuanordnung führen. Darüber hinaus können sich die Kombinationen wiederholen oder sich nicht wiederholen, beispielsweise die Kombinationen (0, 0, 1, 1, 2, 3) bzw. (0, 1, 2, 3, 4).

Formel zur Bestimmung, wie viele Kombinationen Sie haben

Die Formel C(n, r) = (n!)/ ((r!) x (n – r)!) berechnet die Anzahl der Möglichkeiten, wie Sie eine Anordnung sich nicht wiederholender Elemente (r) aus einer größeren Menge von Elementen erhalten können einzelne Elemente (n) und wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Die Formel zur Berechnung von Kombinationen erfordert auch die Berechnung von Fakultäten, bei denen es sich um die Produkte aller positiven ganzen Zahlen handelt, die gleich und kleiner als die von Ihnen berechnete Zahl sind. Die Fakultät in einer Kombinationsformel wird als (!) angezeigt, was die Fakultätsfunktionen darstellt, die während der Berechnung angewendet werden müssen.

So berechnen Sie Kombinationen

Verwenden Sie die Formel C(n, r) = (n!)/ ((r!) x (n – r)!) und die folgenden Schritte, um zu berechnen, wie viele Kombinationen Sie aus der Stichprobe erhalten können:

1. Bestimmen Sie Ihre r- und n-Werte

Finden Sie Ihre Werte von r und n, indem Sie eine kleinere Menge von Elementen aus der größeren Menge auswählen.

Angenommen, Sie haben acht Bücher in Ihrem Regal und möchten vier Bücher zum Lesen auswählen. In der Formel stellt (r) die Stichprobe von vier Büchern dar, die Sie ausgewählt haben, und (n) stellt die größere Gruppe von acht Büchern dar. Nachdem Sie diese Werte ermittelt haben, ersetzen Sie sie durch die Variablen (r) und (n) in der Formel:

C(n, r) = (8!)/ ((4!) x (8 – 4)!)

2. Subtrahieren Sie den Wert von r vom Wert von n.

Wenn Sie Ihren Stichprobensatz und den größeren Satz für die Variablen r und n in der Formel bestimmen, subtrahieren Sie diese beiden Werte. Ermitteln Sie anhand des Beispiels von n = 30 Büchern und r = 10 Büchern im vorherigen Schritt den Unterschied:

C(n, r) = (8!)/ ((4!) x (8 – 4)!) =

C(n, r) = (8!)/ ((4!) x (4)!)

3. Erweitern Sie die Fakultäten

Nachdem Sie nun die Ausdrücke in der Formel vereinfacht haben, können Sie mit der Berechnung jeder Fakultät im Problem beginnen. Erweitern Sie in einem Beispiel mit einem großen Satz von acht Büchern, einem Beispielsatz von vier Büchern und der Differenz, die Sie beim Subtrahieren dieser Werte finden, jede Fakultät in der Formel:

8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 und

4! x 4! = 4 x 3 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1

4. Eliminieren Sie solche Begriffe und trennen Sie sie

Bevor Sie Ihre Fakultäten in einer Formel dividieren, können Sie die gleichen Terme zwischen ihnen streichen, da diese Werte durch Division miteinander verknüpft sind. Zwischen 8! und (4! x 4!) Zu den gebräuchlichen Begriffen gehören 4, 3, 2, 1 sowohl am oberen als auch am unteren Ende der Bruchseite der Gleichung. Die Aufhebung dieser Bedingungen hat Folgendes zur Folge:

C(n, r) = (8 x 7 x 6 x 5) / (4 x 3 x 2 x 1) =

C(n, r) = (1680) / (24) =

C(n, r) = 70

Das Ergebnis ist 70, was bedeutet, wie viele Kombinationen Sie erhalten können, wenn Sie vier von acht Büchern auswählen, wenn n ≥ r ≥ 0. Dies bedeutet, dass alle Werte, mit denen Sie arbeiten, größer oder gleich Null sein müssen und Ihr ( n) Der Wert muss größer oder gleich Ihrem Wert (r) sein. Wenn Sie mit dieser Formel die Anzahl der Kombinationen berechnen, die Sie erhalten, sollten Ihre Werte außerdem nicht wiederholt werden, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt.

Kombinationen versus Permutationen

Kombinationen können sowohl sich wiederholende als auch sich nicht wiederholende Anordnungen haben. Die Reihenfolge, in der Sie diese Mechanismen finden, spielt jedoch keine Rolle. Bei Permutationen wird jedoch die Reihenfolge wichtig, da die Permutationen in einer geordneten Menge auftreten müssen. Eine Möglichkeit, sich den Unterschied zwischen den beiden zu merken, besteht darin, dass eine Permutation eine geordnete Kombination ist.

Wie bei Kombinationen können auch Permutationen sich wiederholende oder sich nicht wiederholende Werte in der Menge haben. Angenommen, Sie möchten die Kombination zu einem Schloss finden. Eine Schlosskombination ist eine Permutation, bei der die Reihenfolge der Zahlen für die Funktionsweise der Kombination wichtig ist. Sie können jedoch eine sich wiederholende Permutation für die Schlosskombination (z. B. die Kombination 4, 4, 4) oder eine sich nicht wiederholende Permutation (z. B. 3, 4, 5) verwenden.

Beispiele

Um Kombinationen zu berechnen, bei denen die Reihenfolge wichtig ist, wie bei Permutationen, können Sie zwei Formeln verwenden:

• Wiederholte Permutation = n^r, wobei (n) die verschiedenen Typen des Elements darstellt und (r) den kleineren Satz von Typen darstellt, die Sie auswählen (n).

• Nicht wiederholende Permutation = (n!) / (n – r)!, wobei (n!) die Fakultätsfunktion der gesamten Menge ist, aus der Sie die (r) Anzahl der Elemente auswählen.

Mit diesen Formeln können Sie Permutationen in der folgenden Beispielaufgabe finden:

Nehmen wir an, Sie möchten die Kombination zu einem Schloss finden und haben sechs Zahlen zur Auswahl. Sechs repräsentiert Ihren Wert (n) in beiden Formeln. Wenn für ein Schloss die Kombination von drei Zahlen erforderlich ist, wird drei zu Ihrem Wert (r) oder zu einer kleineren Teilmenge, die Sie aus der gesamten Menge auswählen. Um herauszufinden, wie viele Kombinationen Sie mit sich wiederholenden Werten erhalten können, verwenden Sie die Formel n^r:

p^g = (6) ^ (3) =

*6 x 6 x 6 = 216

Das bedeutet, dass Sie 216 mögliche Kombinationen mit sich wiederholenden Werten finden können. Wenn die Schließkombination jedoch nicht wiederkehrende Werte hat, verwenden Sie die Formel (n!) / (n – r)! Um die möglichen Kombinationen für jedes der drei Elemente zu berechnen, wählen Sie aus den sechs Werten im Satz aus:

(n!) / (n – r)! =

(6!) / (6 – 3)! =

(6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (3)! =

(6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (3 x 2 x 1) =

6 x 5 x 4 / 1 =

120/1 = 120

Dieses Ergebnis zeigt, dass es 120 mögliche Sperrkombinationen gibt, wobei die Werte in Permutationen angeordnet sind. Ähnlich wie bei der Berechnung von Kombinationen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt, können Sie bei der Berechnung sich nicht wiederholender Permutationen einfach die gemeinsamen Fakultäten jedes Faktors reduzieren, den Sie in der Formel dividieren.