Was ist lineare Abhängigkeit? (Definition und Beispiele) • BUOM

28. Oktober 2021

Lineare Funktionen und Beziehungen sind in vielen professionellen Anwendungen vorhanden. Von Wirtschaft und Finanzen bis hin zu Informatik und medizinischer Forschung können lineare Beziehungen Aufschluss darüber geben, wie Variablen miteinander interagieren. Lineare Beziehungen können die statistische Analyse unterstützen, um das Vorhandensein von Korrelationen und Ursache-Wirkungs-Beziehungen zwischen Variablen zu bestimmen. In diesem Artikel untersuchen wir, was eine lineare Beziehung ist, was sie Ihnen sagt und was eine lineare Funktion ist, mit Beispielen, die Ihnen bei der Anwendung linearer Gleichungen helfen.

Was ist lineare Abhängigkeit?

Eine lineare Beziehung ist eine statistische Messung zwischen zwei Variablen, bei der Änderungen in einer Variablen Änderungen in einer zweiten Variablen verursachen. Das Messen linearer Beziehungen in einem Diagramm führt zu einer geraden Linie, bei der die durch die Variablen erstellte Linie zunimmt, abnimmt oder konstant bleibt, z. B. horizontale oder vertikale Linien. In der Mathematik misst man lineare Beziehungen mit der Gleichung:

u = mh + b

Wo:

• Y ist die abhängige Variable.

• Die Variable m repräsentiert den Steigungskoeffizienten.

• X stellt die unabhängige Variable dar.

• Die Variable b repräsentiert die Steigung oder Änderungsrate.

Was bedeutet eine lineare Beziehung?

In der Statistik zeigt eine lineare Beziehung in einem Diagramm die Möglichkeit einer Korrelation zwischen einer unabhängigen und einer abhängigen Variablen. Dies bedeutet, dass sich bei einer Änderung der unabhängigen Variablen auch die abhängige Variable ändert, was zu einer Steigung im Diagramm führt. Obwohl Korrelation in linearen Beziehungen nicht immer einen Kausalzusammenhang impliziert, kann sie für viele statistische Anwendungen von Bedeutung sein. Schauen wir uns einige Berufsfelder an, die auf die Informationen angewiesen sind, die lineare Beziehungen liefern können:

Finanzen

Lineare Beziehungen sind in Finanzprozessen wie der Investitionsanalyse, der Budgetverwaltung und der Finanzplanung weit verbreitet. Beispielsweise können Aktieninvestoren positive und negative Korrelationen als lineare Beziehungen zwischen Marktaktivität, Aktienkursen und deren Änderungsrate definieren. Finanzplaner und -analysten verwenden häufig lineare Beziehungen in Form einer linearen Regression, die Korrelationen nutzt, um zukünftige Leistungen vorherzusagen. Dieser Prozess ist notwendig, um verschiedene Kennzahlen wie Umsatz, Gewinn und Kapitalrendite vorherzusagen.

Geschäft

Betriebswirtschaft ist ein weiteres Berufsfeld, das die Informationen nutzt, die lineare Beziehungen offenbaren können. Beispielsweise können die linearen Beziehungen, die zwischen verschiedenen Prozessen entstehen, Unternehmensmanagern und Führungskräften Aufschluss darüber geben, wie sich bestimmte Entscheidungen auf den Betrieb auswirken. Auch Veränderungen zwischen unabhängigen Variablen, etwa Anpassungen von Marketingstrategien, können einen linearen Zusammenhang mit Ergebnissen wie gesteigerten Umsätzen oder höheren Konversionsraten aufweisen.

Technologie

In technischen Bereichen wird häufig Datenwissenschaft und -analyse eingesetzt, die auf der Berechnung und Bewertung mathematischer Eigenschaften basiert. Beispielsweise handelt es sich bei linearen Beziehungen beim maschinellen Lernen und bei der Computerprogrammierung häufig um Funktionen, die Programmierern zeigen, wie sich Ausgaben auf bestimmte Eingaben beziehen. Auch technische Anwendungen wie automatisierte Systeme können lineare Beziehungen zwischen programmierten Eingaben und den daraus resultierenden abhängigen Ausgaben darstellen.

Gesundheitspflege

Mediziner und Angehörige der Gesundheitsberufe beobachten auch lineare Zusammenhänge, die häufig mit den Patientenergebnissen verbunden sind. Beispielsweise kann ein linearer Zusammenhang zwischen einer Behandlung und der Verbesserung des Gesundheitszustands eines Patienten für Ärzte ein Hinweis darauf sein, dass eine positive Korrelation zwischen der unabhängigen Variablen und der abhängigen Variablen besteht. In diesem Fall ist die unabhängige Variable die Behandlung und die abhängige Variable die Verbesserung des Gesundheitszustands des Patienten. In der Grafik nimmt die entsprechende Linie zu, was eine positive Korrelation anzeigt.

Akademisch

Pädagogische Fachkräfte nutzen auch Mathematik und statistische Analysen, um verschiedene akademische Indikatoren zu bewerten. Beispielsweise kann die Überwachung der Schülerleistung Pädagogen dabei helfen, lineare Beziehungen zwischen bestimmten Lehrmethoden und den Lernergebnissen der Schüler zu erkennen. Die unabhängige Variable ist hier die Lehrmethode und die Leistung der Schüler ist die abhängige Variable. Lineare Beziehungen in diesen Bereichen sind oft wertvolle Indikatoren für positive und negative Korrelationen, die Fachleuten zeigen können, welche Inputs verbessert werden müssen, um positive Lernergebnisse zu beeinflussen.

Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion ist eine Art linearer Beziehung, bei der jede unabhängige Variable genau einer abhängigen Variablen entspricht. Das bedeutet, dass jede Eingabe zu einer Ausgabe führt. Die Gleichung zur Berechnung linearer Funktionen ähnelt einer linearen Gleichung, bei der die Variable y zu einer direkten Funktion oder Ausgabe der unabhängigen Variablen x wird. Bei der linearen Regression werden lineare Funktionen verwendet, da Sie auf jedes gewünschte Ergebnis nur eine Eingabe anwenden.

Mit der Gleichung:

u = f (h) = th + b

Sie können beurteilen, wie eng die lineare Beziehung zwischen den Daten ist, indem Sie x als unabhängige Variable verwenden. Lineare Funktionen werden auch als gerade Linie dargestellt, wobei diagonale Linien eine Steigung größer oder kleiner als Null und horizontale Linien eine Steigung von Null haben. Es ist wichtig zu beachten, dass vertikale Linien keine lineare Funktion darstellen, da diese eine undefinierte Steigung aufweist.

Beispiele für lineare Beziehungen

Die folgenden Beispiele zeigen, wie man lineare Zusammenhänge mithilfe mathematischer Formeln auswerten kann:

Beispiel einer linearen Gleichung

Ein Finanzanalyst verwendet eine lineare Gleichung, um die Zinserträge vorherzusagen, wenn er verschiedene Anlageoptionen für seinen Kunden bewertet. Jedes Anlageinstrument bietet einen eigenen Zinssatz, der je nach Aktienkurs schwankt. Der Analyst kann eine lineare Gleichung verwenden, um die potenzielle Rendite zu berechnen, indem er die Änderungsrate mit dem Zinssatz multipliziert und der ursprünglichen Kapitalinvestition des Kunden eine Konstante hinzufügt. Der Kunde investiert 2.500 $ zu einem Zinssatz von 12 %. Wenn die Änderungsrate 2,5 beträgt, erhält der Analyst Folgendes:

Y = мх + б =

Potenzielle Zinskosten = (2,5)(12 %) + (2500 $) = 2530 $.

Der Analyst bewertet das Ergebnis, um den Gesamtwert zu ermitteln, den der Kunde erwarten kann, wenn das Interesse am Kapital steigt. Obwohl diese Formel nur einen plausiblen linearen Zusammenhang zwischen Renditen und Zinsbewegungen annimmt, kann ein Finanzanalyst diese Informationen nutzen, um kritische Anlagekennzahlen und -instrumente weiter zu untersuchen.

Beispiel für eine lineare Funktion

Ein Datenwissenschaftler analysiert die Eingabe- und Ausgabedaten für ein maschinelles Lernsystem. In einem System stellt jede Eingabe einen unabhängigen Befehl dar, der eine bestimmte Ausgabe verursacht. Jedes Mal, wenn ein Wissenschaftler einen neuen Befehl programmiert, verarbeitet das maschinelle Lernsystem ihn und generiert ein Ergebnis. Um zu bestimmen, ob jede Funktion linear ist, kann ein Datenwissenschaftler die lineare Formel verwenden, um schnell die Wahrscheinlichkeit abzuschätzen, dass die unabhängigen und abhängigen Variablen Korrelationen aufweisen.

Sie listen die x Eingaben (1.2, 2.2, 3.2) auf und berechnen die Formel für jeden Wert, wenn die Änderungsrate eins und die Konstante zwei beträgt:

Y = f(x) = mx + b =

Y = f (1,2) = (1) (1,2) + (2) = 3,2

Y = f(2,2) = (1)(2,2) + (2) = 4,2

Y = f(3,2) = (1)(3,2) + (2) = 5,2

Die Darstellung jeder Ein- und Ausgabe in einem Diagramm führt zu einer geraden Linie. Dies zeigt dem Datenwissenschaftler, dass zwischen jeder unabhängigen und abhängigen Variablen eine lineare Beziehung besteht. Anhand dieser Informationen kann der Wissenschaftler Anpassungen am maschinellen Lernsystem vornehmen, um genauere Berechnungen zu erstellen.