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Ein Konfidenzintervall ist eine Reihe von Werten, die den Bereich darstellen, zwischen dem ein Standard-Stichprobenmittelwert liegen kann. In der Statistik ist ein Konfidenzintervall wichtig zur Überprüfung des Konfidenzniveaus sowie des Forschungs- oder Umfrageprozesses. Wenn Sie wissen möchten, was das Konfidenzniveau bedeutet und wie es berechnet wird, sind für die Verwendung dieser Formel einige Informationen erforderlich: Konfidenzintervall (CI) = ‾X ± Z(S ÷ √n). In diesem Artikel besprechen wir, was ein Konfidenzintervall ist, welche Bedeutung es hat und wie man ein Konfidenzintervall mithilfe einer Formel berechnet.

Was ist ein Konfidenzintervall in der Statistik?

Ein Konfidenzintervall zeigt an, wie sicher Sie sind, dass eine Reihe von Stichproben innerhalb eines Wertebereichs liegt. Diese Werte wahren ein Maß an Konfidenz und stellen die Wahrscheinlichkeit dar, dass die gesamte Population dieselben Ergebnis- oder Schätzparameter wie Ihre Stichprobenstatistiken erfüllt. Um das Konfidenzintervall zu berechnen, verwenden Sie die Formel:

Konfidenzintervall (CI) = ‾X ± Z(S ÷ √n)

‾X stellt den Stichprobenmittelwert dar, Z stellt den Z-Score dar, den Sie aus der Normalstandardverteilung für Ihr gewünschtes Konfidenzniveau erhalten, S stellt die Grundgesamtheitsstandardabweichung dar und n stellt die Größe der Stichprobe dar, mit der Sie die Umfrage durchführen.

Warum ist ein Konfidenzintervall wichtig?

Ein Konfidenzintervall ist ein wichtiger Wertebereich, der die Wahrscheinlichkeit angibt, dass ein Parameter zwischen einer Reihe von Werten liegt, die nahe am Mittelwert liegen. Diese Werte stellen den Grad des Vertrauens und der Unsicherheit dar, die Statistiker in Bezug auf die Ergebnisse von Umfragen oder Studien haben, die sie durchführen.

Konfidenzintervalle sind auch wichtig für die Aufrechterhaltung eines Konfidenzniveaus, bei dem es sich um einen Prozentsatz der Konfidenz handelt. Typischerweise ist in der Statistik ein Konfidenzniveau von 95 % bis 99 % akzeptabel, um die größte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass Statistiker bei jeder Wiederholung einer Studie die gleichen Ergebnisse erhalten.

So berechnen Sie ein Konfidenzintervall

Konfidenzintervall (CI) = ‾X ± Z(S ÷ √n)

Die folgenden Schritte zeigen, wie Sie ein Konfidenzintervall mithilfe dieser Formel berechnen:

1. Ermitteln Sie den Stichprobenmittelwert

Sie müssen wissen, was die Stichprobe bedeutet, bevor Sie ein Konfidenzintervall berechnen können. Ermitteln Sie den Durchschnitt, indem Sie alle Zahlen in Ihrem Datensatz addieren und das Ergebnis durch die Anzahl Ihrer Stichproben dividieren. Um beispielsweise den Durchschnitt einer Stichprobe von 10 Testergebnissen zu ermitteln, addieren Sie alle Ergebnisse und teilen Sie diese Summe durch die Anzahl der erhaltenen Testergebnisse.

Angenommen, die Testergebnisse sind 80, 95, 90, 90, 95, 75, 75, 85, 90, 80, addieren Sie diese Ergebnisse zu einer Gesamtsumme von 855. Teilen Sie 855 durch die Anzahl der Testergebnisse (10), um die Stichprobe zu erhalten. Durchschnittswert 85,5. Hier erfahren Sie das durchschnittliche Testergebnis für die Stichprobe. Das Konfidenzintervall stellt in diesem Fall Ihr Vertrauen dar, dass der Rest der Bevölkerung den gleichen Durchschnittswert hat.

2. Berechnen Sie die Standardabweichung

Sobald Sie den Stichprobenmittelwert kennen, ermitteln Sie die Standardabweichung. Subtrahieren Sie dazu den Durchschnitt von jedem Testergebnis und quadrieren Sie jedes Ergebnis. Nachdem Sie die Quadratwurzel aus den Ergebnissen jedes Tests gezogen haben, ermitteln Sie den Durchschnitt dieser Werte. Ziehen Sie dann die Quadratwurzel aus diesem Ergebnis. Ermitteln Sie anhand von Beispieltestergebnissen die Standardabweichung:

(80 – 85,5)² + (95 – 85,5)² + (90 – 85,5)² + (90 – 85,5)² + (95 – 85,5)² + (75 – 85, 5)² + (75 – 85,5)² + (85 – 85,5)² + (90 – 85,5)² + (80 – 85,5)² = 30,5 + 90,25 + 20, 25 + 20,25 + 90,25 + 90,25 + 90,25 + 0,25 + 20,25 = 452,5 ÷ 10 Tests = 45,25. Dieser Wert stellt die Standardabweichung der Stichprobe dar.

3. Finden Sie den Standardfehler

Berechnen Sie anhand des Stichprobenmittelwerts und der Standardabweichung den Standardfehler der Stichprobe. Der Standardfehler misst, wie genau eine Stichprobe die Gesamtpopulation repräsentiert. Ermitteln Sie in den Stichprobentestergebnissen den Standardfehler, indem Sie die Standardabweichung durch die Anzahl der Datenpunkte in der Stichprobengröße dividieren: 45,25/10 = 4,525. Dieser Standardfehler misst, wie genau Ihre Stichprobe die Gesamtpopulation repräsentiert.

4. Finden Sie den Fehler

Ihr Stichprobenfehler ist der Betrag des zufälligen Stichprobenfehlers in der Stichprobe, die Sie messen. Eine größere Fehlerquote bedeutet weniger Vertrauen in die Erzielung derselben Ergebnisse in der gesamten Bevölkerung. Ermitteln Sie diesen Wert, indem Sie den Standardfehler durch zwei teilen. Teilen Sie beispielsweise anhand von Beispieltestergebnissen den Standardfehler von 4,525 durch zwei, um 9,05 als Fehlerspanne zu erhalten.

5. Verwenden Sie diese Ergebnisse in der Formel

Sobald Sie die benötigten Informationen haben, fügen Sie diese Werte in die Formel ein, um das Konfidenzintervall zu berechnen. Berechnen Sie anhand des Beispieltestergebnisses das Konfidenzintervall unter der Annahme, dass Sie einen Z-Score von 95 % haben:

Konfidenzintervall (CI) = ‾X ± Z(S ÷ √n) = 85,5 ± 0,95 (45,25 ÷ √10) = 85,5 ± 0,95 (45,25 ÷ 3,16) = 85,5 ± 0,95 (14,32) = 85,5 ± 13,6 = 99,1, 71,9 .

6. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse

Anhand eines Konfidenzintervalls können Sie erkennen, ob sich die Ergebnisse Ihrer Umfrage oder Studie mit hoher Wahrscheinlichkeit in der gesamten Grundgesamtheit wiederholen, aus der Ihre Stichprobe gezogen wird. Ein höheres Konfidenzintervall weist auf eine hohe Wahrscheinlichkeit hin, dass Ihre Ergebnisse innerhalb der Grundgesamtheit liegen. Darüber hinaus können der Standardfehler und die Fehlerspanne den Grad der Konfidenz und Unsicherheit genauer angeben, da diese Werte den Bereich darstellen, innerhalb dessen Ihr Konfidenzintervall für die gesamte Grundgesamtheit wahr sein kann und bleiben wird.

Das Konfidenzintervall für Stichprobentestergebnisse reicht von 71,9 bis 99,1, was bedeutet, dass das mittlere Testergebnis für die gesamte Bevölkerung innerhalb dieser beiden Werte liegen sollte. Bei einem Konfidenzniveau von 95 % bedeutet dies, dass Sie diese Ergebnisse mit hoher Wahrscheinlichkeit von allen Studierenden erhalten, die ihre Testergebnisse eingereicht haben.

Beispiele

Nutzen Sie die folgenden Beispiele zur Berechnung eines Konfidenzintervalls, um weitere Informationen zu erhalten:

Beispiel 1: Einzelhandelsprodukte

Nehmen wir für dieses Beispiel an, Sie möchten die Qualität eines Produkts anhand der Ergebnisse einer Kundenzufriedenheitsumfrage bewerten. In einer Umfrage bitten Sie die Befragten, die Qualität auf einer Skala von eins bis fünf zu bewerten, wobei eins die niedrigste Qualität und fünf die höchste Qualität darstellt. Wenn die Stichprobengröße 25 beträgt, der Stichprobenmittelwert 4,5 beträgt und die Standardabweichung 2,5 beträgt, berechnen Sie das Konfidenzintervall unter der Annahme eines Konfidenzniveaus von 97 %:

Konfidenzintervall (CI) = ‾X ± Z(S ÷ √n) = 4,5 ± 0,97 (2,5 ÷ √25) = 4,5 ± 0,97 (2,5 ÷ 5) = 4, 5 ± 0,97 (0,5) = 4,5 ± 0,485 = 4,985 , 4.015

Das Konfidenzintervall reicht von 4,985 bis 4,015, was bedeutet, dass die Kunden in der Stichprobe die Qualität des Produkts zwischen vier und fünf bewerten. Ihr Konfidenzniveau von 97 % stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass diese Ergebnisse für die gesamte Kundenpopulation gleich sind.

Beispiel 2: Markenpopularität

Nehmen wir an, eine neue Gesundheits- und Wellnessmarke möchte ihr beliebtestes Produkt anhand von Kundenbewertungen bewerten. Das Unternehmen verwendet eine 10-Punkte-Skala und bittet eine Stichprobe von 64 Kunden, ihre Lieblingsprodukte zu bewerten, wobei einer das am wenigsten beliebte Produkt und 10 das beliebteste Produkt darstellt. Wenn ein Unternehmen die Beliebtheit eines bestimmten Artikels in einer Umfrage wissen möchte, kann es ein Konfidenzintervall ermitteln. Mit einem Konfidenzniveau von 98 %, einem Stichprobenmittelwert von 8,5 und einer Standardabweichung von 4,75 berechnet das Unternehmen ein Konfidenzintervall:

Konfidenzintervall (CI) = ‾X ± Z(S ÷ √n) = 8,5 ± 0,98 (4,75 ÷ √64) = 8,5 ± 0,98 (4,75 ÷ 8) = 8, 5 ± 0,98 (0,59) = 8,5 ± 0,58 = 9,08 , 7,92

Das Konfidenzintervall für das Produkt, das die Marke messen möchte, liegt zwischen 7,92 und 9,08, was bedeutet, dass die Kundenbewertungen des Produkts auf der Skala zwischen 7,92 und 9,08 liegen. Da die Marke zu 98 % davon überzeugt ist, dass diese Ergebnisse für die gesamte Bevölkerung sichtbar sein werden, kann die Marke eine weitere Strategie entwickeln, um das Produkt zu bewerben, das den Kunden gefällt.