Сумма квадратов: что это такое и примеры

28 октября 2021 г.

Многие предприятия используют регрессионный анализ прогнозировать непрерывную зависимую переменную из ряда независимых переменных. Аналитики данных и специалисты по финансам используют регрессионный анализ для определения силы предикторов, прогнозирования эффекта или прогнозирования тенденций. Одним из первых расчетов, сделанных в регрессионном анализе, является сумма квадратов.

В этой статье мы обсудим, что такое сумма квадратов, формула суммы квадратов, как вычислить сумму квадратов и различные типы суммы квадратов, а также пример расчета.

Чему равна сумма квадратов?

Сумма квадратов (СС) — это инструмент, который статистики и ученые используют для оценки общего отклонения набора данных от его среднего значения. Этот статистический инструмент показывает, насколько хорошо данные соответствуют его модели, особенно в регрессионном анализе.

Как один из наиболее важных выходных данных регрессионного анализа, SS используется для отображения вариаций данных, так что меньшая сумма квадратов показывает лучшую модель, а большая сумма квадратов показывает меньшую модель. Чем меньше или больше сумма, тем меньше или больше отдельных точек данных отклоняются от среднего значения. Если сумма равна нулю, ваша модель идеально подходит.

Например, финансовые консультанты могут использовать SS для расчета дисперсии ежедневной стоимости акций. Когда SS представляет собой большое число, это означает, что стоимость акций имеет большое отклонение от среднего значения, что свидетельствует о нестабильности рынка. Когда SS представляет собой небольшое число, это означает, что стоимость акций имеет небольшое отклонение от среднего значения, что свидетельствует о стабильности рынка. Квадратный корень из суммы квадратов равен среднеквадратичное отклонениечто также является полезным числом для финансовых консультантов.

Формула суммы квадратов

Формула суммы квадратов — это математический способ поиска модели, которая меньше всего отличается от данных. Полезно отметить, что профессионалы иногда называют сумму квадратов «вариацией». Вот формула, используемая для нахождения общей суммы квадратов, наиболее распространенный вариант этого расчета:

В этом уравнении:

• Yi = i-й член в наборе

• ȳ = среднее значение всех элементов в наборе

Как посчитать сумму квадратов

Вот шаги, которые вы можете выполнить, чтобы вычислить сумму квадратов:

1. Подсчитайте количество измерений

Буква «н» обозначает размер образцачто также является количеством измерений.

2. Рассчитайте среднее

Среднее значение представляет собой среднее арифметическое выборки. Для этого сложите все измерения и разделите на размер выборки n.

3. Вычтите каждое измерение из среднего

Если у вас есть числа больше среднего, то они будут давать отрицательное число, и это нормально. У вас должна быть серия из n отдельных отклонений от среднего значения.

4. Возведите в квадрат разницу каждого измерения от среднего

Результат возведения в квадрат числа всегда положительный, поэтому, если на последнем шаге у вас были отрицательные числа, теперь они будут положительными. У вас должен получиться ряд из n положительных чисел.

5. Сложите квадраты вместе и разделите на (n-1)

На этом последнем шаге у вас должна быть сумма квадратов. Эта сумма квадратов является стандартной дисперсией для вашего размера выборки.

Пример суммы квадратов

Вот пример задачи, которая следует шагам, описанным выше, для решения суммы квадратов чисел 2, 4 и 6:

1. Считать

Подсчитайте количество измерений. Количество измерений является объемом выборки и обозначается буквой «n».

п = 3

2. Рассчитать

Сложите все измерения и разделите на размер выборки, чтобы найти среднее значение.

(2+4+6)/3 = 12/3 = 4

3. Вычесть

Вычтите каждое измерение из среднего.

4 – 2 = 2

4 – 4 = 0

4 – 6 = -2

4. Квадрат

Возведите в квадрат разницу каждого измерения от среднего, чтобы получить серию из n положительных чисел.

22 = 4

02 = 0

(-2)2 = 4

5. Добавить

Сложите квадраты вместе, чтобы найти сумму квадратов, также известную как стандартная дисперсия для вашего размера выборки.

4 + 0 + 4 = 8

Типы суммы квадратов

Существует три основных типа суммы квадратов: общая сумма квадратов, регрессионная сумма квадратов и остаточная сумма квадратов. Вот краткое описание каждого типа:

Общая сумма квадратов

Формула общей суммы квадратов, продемонстрированная выше, сообщает вам, насколько велика вариация зависимой переменной, и количественно определяет общую вариацию выборки.

Иногда фактические квадраты представляют собой общую сумму квадратов вдоль линии регрессии графика. Диаграмма, такая как линия регрессии на графике, не является обязательной, но она обеспечивает визуальное представление расчета, облегчая его понимание. В других случаях формула y = Y – ȳ представляет собой общую сумму квадратов.

Сумма квадратов регрессии

Сумма квадратов регрессии показывает, хорошо ли регрессионная модель представляет смоделированные данные. Сумма квадратов становится более сложной, когда профессионалы используют ее для расчета суммы квадратов в регрессионном анализе. Из-за этих сложностей профессионалы очень редко выполняют этот расчет вручную. Вместо этого они используют компьютерные программы для расчета результатов.

При вычислении суммы квадратов регрессии более высокая сумма квадратов регрессии указывает на то, что модель плохо подгоняет данные. Меньшая сумма квадратов регрессии указывает на то, что модель хорошо подходит для данных.

Остаточная сумма квадратов

Остаточная сумма квадратов показывает, какую часть вариации зависимой переменной ваша модель не объясняет. Он измеряет вариацию ошибок в регрессионной модели, то есть показывает величину вариации зависимой переменной. Это сумма квадратов разностей между фактическим значением Y и прогнозируемым значением Y.

При вычислении остаточной суммы квадратов меньшая остаточная сумма квадратов показывает, что регрессионная модель лучше объясняет данные. Более высокая сумма квадратов регрессии показывает, что регрессионная модель плохо объясняет данные.