Как рассчитать комбинацию и вероятность

Комбинации существуют во многих формах, и понимание того, как рассчитать вероятность комбинации, может быть полезным математическим навыком в различных математических и научных профессиях. Вы можете сгенерировать комбинацию случайным образом или установить ее намеренно. Однако навыки расчета вероятности определенного исхода остаются одинаковыми в обоих случаях и могут быть полезными профессиональными инструментами. В этой статье мы обсудим определение комбинации в математике, чем она отличается от перестановки и как рассчитать комбинации в различных формах, которые может принимать комбинация.

Что такое комбинация в математике?

Комбинация — это набор элементов, созданный при определенном наборе условий и ограничений. Комбинация может состоять полностью из уникальных элементов или включать повторяющиеся элементы, и комбинация может потребовать, чтобы эти элементы были в определенном порядке или просто чтобы присутствовали все правильные элементы. В математике понимание параметров комбинации позволяет рассчитать различное количество возможных комбинаций, отвечающих этим требованиям, и, как следствие, вероятность возникновения определенного исхода.

Комбинация против перестановки

Комбинации и перестановки – аналогичные понятия. Однако перестановка имеет дополнительные правила, которые делают ее подмножеством комбинаций. Перестановка — это тип комбинации, в которой важно не только наличие правильных элементов, но и их расположение в правильном порядке.

Например, когда вы выбираете пять шариков наугад из мешка с шариками и определяете, сколько различных комбинаций цветов вы можете нарисовать, не имеет значения, в каком порядке вы их вытаскиваете, что делает эту комбинацию базовой. При попытке открыть замок с тремя цифрами важно не только указать правильные цифры, но и расположить их в правильном порядке. Замок — это комбинация, но это также и перестановка, которая увеличивает общее количество конфигураций и увеличивает сложность.

Как рассчитать вероятность комбинации

Существует несколько типов комбинированных задач, и каждая требует уникального набора вычислений. Понимание того, как определить тип комбинированной проблемы и правильную формулу для решения этой проблемы, является важным навыком для расчета вероятностей. Ниже приведены шаги, которые помогут вам рассчитать вероятность комбинации:

1. Понимать математическую запись комбинаций

Хотя для разных задач комбинированной вероятности требуются разные математические формулы, они содержат одни и те же ключевые понятия и переменные. Важные термины и обозначения для понимания:

• Факторная запись: Факторная запись — это когда вы ставите восклицательный знак сразу после числа. Это математический символ, представляющий значение, которое вы получаете, когда последовательно умножаете число на каждое целое число, меньшее его, до единицы. Например, “3!” эквивалентно написанию 3 x 2 x 1.

• Треугольник Паскаля: Использование треугольника Паскаля может помочь вам быстро найти некоторые комбинированные решения. Треугольник Паскаля представляет собой массив чисел, начиная с единицы в верхней строке и заполняя каждую последующую строку сначала двумя числами, затем тремя числами и так далее, чтобы создать форму треугольника. Каждое число в треугольнике равно сумме числа над ним и слева и числа над ним и справа.

• Переменная n: Переменная n представляет количество вариантов для каждого выбора в комбинации. Например, замок с тремя цифрами, каждая из которых может быть от 0 до 9, имеет значение n, равное 10, потому что для каждого места в комбинации есть 10 возможных цифр.

• Переменная r: переменная r представляет количество раз, когда вы делаете выбор из потенциальных элементов. Для примера комбинации r будет равно трем, потому что в перестановке замка три цифры.

2. Определите свой стиль сочетания

Чтобы применить правильную формулу при расчете вашей комбинации, важно определить тип расчета, который вы выполняете. Первый ключевой момент заключается в том, вычисляете ли вы перестановку или комбинацию. Затем вы можете определить, может ли одно и то же значение повторяться во время комбинации. Это создает четыре типа расчета, по одному для каждой потенциальной пары комбинации или перестановки и повторения или отсутствия повторения.

3. Выберите соответствующую формулу

После определения стиля комбинации, для которой вы рассчитываете, важно использовать правильную формулу, чтобы найти вероятность определенного результата. Четыре уравнения вероятности комбинации:

• Перестановка с повторением: Всего перестановок = n ^ r

• Перестановка без повторения: Всего перестановок для выбора = n! / (н – р)!

• Комбинация с повторением: Всего комбинаций = n! / (г! х (п – г)!)

• Комбинация без повторений: Всего комбинаций = (r + n – 1)! / (г! х (п – 1)!)

4. Введите переменные и рассчитайте

Комбинируя правильную формулу с вашими значениями количества вариантов и количества вариантов, вы можете рассчитать общее количество комбинаций или перестановок. Вставьте числа вместо переменных в формулу и вычислите результат. Чтобы преобразовать количество комбинаций или перестановок в вероятность получения конкретных результатов, разделите единицу на результат вашего расчета. Вы также можете преобразовать вероятность в проценты, умножив ее на 100.

Примеры расчета комбинации

Хотя все, что вам нужно для расчета вероятности различных стилей комбинаций, — это формулы, может быть полезно понять математическую логику, лежащую в основе их создания. Эти примеры показывают, почему каждая формула имеет свою уникальную структуру и как использовать каждую из них для выполнения вычислений:

Пример перестановки с повторением

Выяснение того, сколько перестановок существует для комбинации, допускающей повторения, является самым простым из различных вычислений комбинации. Умножьте количество вариантов для каждого элемента перестановки на степень количества элементов.

Например, в сейфе используется вращающийся циферблат со 100 возможными номерами. Для того чтобы открыть сейф нужно правильно повернуться к трем числам в правильном порядке. Есть 100 вариантов для каждого элемента и три элемента, так что вы умножаете 100 на себя три раза. Существует 1 миллион перестановок сейфа.

Всего перестановок = 100 ^ 3 = 1 000 000

Пример перестановки без повторения

Чтобы вычислить количество вариантов для этой перестановки, вы сначала находите значение факториала от общего количества вариантов для каждого элемента, а затем факториал для количества вариантов за вычетом количества выбранных вами элементов. Разделив первый результат на второй, вы получите общее количество перестановок.

Например, у ребенка есть мешочек с пятью шариками, и он вытаскивает наугад три. Вы заинтересованы в том, чтобы определить, сколько перестановок ребенок может выбрать наугад. Сначала вы находите факториал пяти, что равно 120. Затем, поскольку ребенок рисует три шарика, что на два меньше, чем пять, вы находите факториал двух, который равен двум. Разделив 120 на 2, вы определяете, что существует 60 возможных перестановок при вытягивании трех шариков.

Всего перестановок = 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 120 / 2 = 60

Пример комбинации без повторения

В то время как предыдущая формула рассматривает вытягивание одних и тех же трех шариков в другом порядке как разные результаты, в комбинации они одинаковы. Деление на факториал количества сделанных выборов позволяет удалить дубликаты и найти правильный результат. В примере с мрамором, поскольку каждая комбинация из трех шариков может встречаться в одной из шести перестановок, вы делите 60 на 6, чтобы обнаружить, что существует 10 комбинаций без повторения.

Вы также можете найти количество комбинаций без повторений, используя треугольник Паскаля. Рассматривая верхнюю строку треугольника как нулевую строку, сосчитайте в обратном порядке до строки, соответствующей количеству вариантов для каждого элемента, затем сосчитайте в этой строке количество вариантов, чтобы найти результат.

Всего комбинаций = 5! / (3! х (5 – 3)!) = 5! / (3! х 2!) = 120 / (6 х 2) = 120 / 12 = 10

Пример комбинации с повторением

Чтобы рассчитать комбинацию с повторением, вы можете заменить факториал количества вариантов на факториал суммы количества вариантов и общего количества выборов минус один. Затем замените факториал количества вариантов минус один на факториал количества вариантов минус количество выборов. Полученная формула дает вам количество возможных комбинаций с учетом повторения.

Например, если ребенок кладет вытащенный шарик обратно в мешок после каждого вытягивания, вы можете использовать эту формулу для расчета общего количества возможных комбинаций, выпадающих при вытаскивании трех шариков из мешка. Формула показывает ответ из 35 комбинаций с повторением при вытаскивании шариков из мешка.

Всего комбинаций = (3 + 5 – 1)! / (3! х (5 – 1)!) = 7! / (3! х 4!) = 5040 / (6 х 24) = 5040 / 144 = 35