Как рассчитать доверительный интервал: формула и примеры

Доверительный интервал — это набор значений, который представляет собой диапазон, между которым может находиться стандартное среднее значение выборки. В статистике доверительный интервал важен для проверки уровня достоверности, а также процесса исследования или опроса. Если вам интересно узнать, что означает уровень достоверности и как его рассчитать, есть несколько сведений, необходимых для использования этой формулы: доверительный интервал (ДИ) = ‾X ± Z(S ÷ √n). В этой статье мы обсудим, что такое доверительный интервал, его важность и как рассчитать доверительный интервал с помощью формулы.

Что такое доверительный интервал в статистике?

Доверительный интервал показывает, насколько вы уверены в том, что набор выборок попадает в диапазон значений. Эти значения поддерживают уровень достоверности и представляют вероятность того, что вся совокупность будет соответствовать тем же результатам или параметрам оценки, что и ваши статистические данные по выборке. Для расчета доверительного интервала используйте формулу:

Доверительный интервал (ДИ) = ‾X ± Z(S ÷ √n)

‾X представляет собой среднее значение выборки, Z представляет собой Z-значение, которое вы получаете из нормального стандартного распределения для желаемого уровня достоверности, S представляет собой стандартное отклонение генеральной совокупности, а n представляет размер выборки, которую вы проводите обследование.

Почему важен доверительный интервал?

Доверительный интервал — это важный диапазон значений, показывающий вероятность того, что параметр находится между набором значений, близких к среднему. Эти значения представляют собой степень уверенности и неопределенности, которую статистики имеют в отношении результатов опросов или исследований, которые они проводят.

Доверительные интервалы также важны для поддержки уровня достоверности, который представляет собой процент уверенности. Как правило, в статистике уровень достоверности от 95% до 99% является приемлемым для определения наибольшей вероятности того, что статистики получат одни и те же результаты каждый раз, когда они повторяют исследование.

Как рассчитать доверительный интервал

Доверительный интервал (ДИ) = ‾X ± Z(S ÷ √n)

Следующие шаги показывают, как рассчитать доверительный интервал с помощью этой формулы:

1. Найдите среднее значение выборки

Вам нужно знать, что означает выборка, прежде чем вы сможете вычислить доверительный интервал. Найдите среднее значение, сложив все числа в вашем наборе данных и разделив результат на количество имеющихся у вас выборок. Например, чтобы найти среднее значение выборки из 10 результатов тестов, сложите все оценки и разделите эту сумму на количество полученных вами результатов тестов.

Предполагая, что результаты теста равны 80, 95, 90, 90, 95, 75, 75, 85, 90, 80, сложите эти результаты в сумме 855. Разделите 855 на количество баллов теста (10), чтобы получить выборку. среднее значение 85,5. Это говорит вам о среднем балле теста для выборки. Доверительный интервал в этом случае представляет вашу уверенность в том, что остальная часть населения имеет такой же средний балл.

2. Рассчитайте стандартное отклонение

Как только вы узнаете среднее значение выборки, найдите стандартное отклонение. Для этого вычтите среднее значение из каждого результата теста и возведите каждый результат в квадрат. Получив квадратный корень из результатов каждого теста, найдите среднее значение этих значений. Затем извлеките квадратный корень из этого результата. Используя примеры результатов тестов, найдите стандартное отклонение:

(80 – 85,5)² + (95 – 85,5)² + (90 – 85,5)² + (90 – 85,5)² + (95 – 85,5)² + (75 – 85,5)² + (75 – 85,5)² + ( 85 – 85,5)² + (90 – 85,5)² + (80 – 85,5)² = 30,5 + 90,25 + 20,25 + 20,25 + 90,25 + 90,25 + 90,25 + 0,25 + 20,25 = 452,5 ÷ 10 тестов = 45,25. Это значение представляет стандартное отклонение выборки.

3. Найдите стандартную ошибку

Используя среднее значение выборки и стандартное отклонение, рассчитайте стандартную ошибку выборки. Стандартная ошибка показывает, насколько точно выборка представляет общую совокупность. В примере результатов тестов найдите стандартную ошибку, разделив стандартное отклонение на количество точек данных в размере выборки: 45,25/10 = 4,525. Эта стандартная ошибка показывает, насколько точно ваша выборка отражает общую совокупность.

4. Найдите погрешность

Погрешность вашей выборки представляет собой количество случайных ошибок выборки в выборке, которую вы измеряете. Большая погрешность означает меньшую уверенность в достижении одинаковых результатов для всего населения. Найдите это значение, разделив стандартную ошибку на два. Например, используя примеры тестовых результатов, разделите стандартную ошибку 4,525 на два, чтобы получить 9,05 в качестве предела погрешности.

5. Используйте эти результаты в формуле

Получив необходимую информацию, подставьте эти значения в формулу для расчета доверительного интервала. Используя пример тестовой оценки, рассчитайте доверительный интервал, предполагая, что у вас есть Z-значение 95%:

Доверительный интервал (ДИ) = ‾X ± Z(S ÷ √n) = 85,5 ± 0,95 (45,25 ÷ √10) = 85,5 ± 0,95 (45,25 ÷ 3,16) = 85,5 ± 0,95 (14,32) = 85,5 ± 13,6 = 99,1, 71,9 .

6. Интерпретируйте свои результаты

Доверительный интервал может сказать вам, имеют ли результаты вашего опроса или исследования высокую вероятность повторения для всего населения, из которого взята ваша выборка. Более высокий доверительный интервал показывает высокую вероятность того, что ваши результаты соответствуют уровню достоверности для всей совокупности. Кроме того, стандартная ошибка и предел погрешности могут более точно указать вам степень уверенности и неопределенности, поскольку эти значения представляют собой диапазон, в котором ваш доверительный интервал может быть и оставаться верным для всей совокупности.

Доверительный интервал для примеров результатов теста находится в диапазоне от 71,9 до 99,1, что означает, что средний результат теста для всего населения должен находиться в пределах этих двух значений. При уровне достоверности 95 % это означает, что весьма вероятно, что вы получите эти результаты от всех учащихся, отправивших свои результаты тестов.

Примеры

Используйте следующие примеры того, как рассчитать доверительный интервал, чтобы получить больше информации:

Пример 1: Розничные продукты

В этом примере предположим, что вы хотите оценить качество продукта, используя результаты опроса об удовлетворенности клиентов. В опросе вы просите респондентов оценить качество по шкале от одного до пяти, где единица соответствует самому низкому качеству, а пять — наивысшему качеству. Если размер выборки равен 25, среднее значение выборки равно 4,5, а стандартное отклонение равно 2,5, рассчитайте доверительный интервал, предполагая уровень достоверности 97%:

Доверительный интервал (ДИ) = ‾X ± Z(S ÷ √n) = 4,5 ± 0,97 (2,5 ÷ √25) = 4,5 ± 0,97 (2,5 ÷ 5) = 4,5 ± 0,97 (0,5) = 4,5 ± 0,485 = 4,985, 4,015

Доверительный интервал колеблется от 4,985 до 4,015, что означает, что клиенты в выборке оценивают качество продукта от четырех до пяти. Ваш уровень достоверности 97% представляет вероятность того, что эти результаты одинаковы для всей совокупности клиентов.

Пример 2: Популярность бренда

Предположим, что новый бренд товаров для здорового образа жизни хочет оценить свой самый популярный продукт на основе оценок клиентов. Бизнес использует 10-балльную шкалу и просит выборку из 64 клиентов оценить свои любимые продукты, где один представляет наименее популярный продукт, а 10 — самый популярный продукт. Если бизнес хочет узнать популярность определенного элемента в опросе, он может найти доверительный интервал. С уровнем достоверности 98%, средним значением выборки 8,5 и стандартным отклонением 4,75 бизнес рассчитывает доверительный интервал:

Доверительный интервал (ДИ) = ‾X ± Z(S ÷ √n) = 8,5 ± 0,98 (4,75 ÷ √64) = 8,5 ± 0,98 (4,75 ÷ 8) = 8,5 ± 0,98 (0,59) = 8,5 ± 0,58 = 9,08, 7,92

Доверительный интервал для продукта, который бренд хочет измерить, находится в диапазоне от 7,92 до 9,08, что означает, что оценки продукта покупателями составляют от 7,92 до 9,08 баллов по шкале. Поскольку бренд на 98 % уверен, что эти результаты будут видны всему населению, бренд может разработать дальнейшую стратегию продвижения продукта, который нравится покупателям.