Факторинг математических выражений: почему это важно и как это сделать

Способность разобрать уравнение на части может оказаться важным навыком во многих бизнес-операциях. Разбиение некоторых математических уравнений на части называется факторингом. Этот процесс может быть особенно полезен в работах, связанных с анализом и применением данных, потому что люди в этих ролях часто обрабатывают цифры, которые уже обработали другие люди. В этой статье мы даем определение факторингу, обсуждаем некоторые методы факторинга и способы его использования, а также приводим несколько примеров уравнений.

Что такое факторы

Факторы — это числа, переменные или комбинации чисел и переменных, которые вы комбинируете в определенных видах математических уравнений. Когда вы умножаете два множителя в уравнении, оно называется биномиальным. Когда вы умножаете три множителя вместе, это называется трехчленом. Еще одним специализированным типом уравнения, в котором объединяются факторы, является квадратное уравнение.

Методы факторинга

Хотя существует несколько конкретных типов выражений, которые вы можете учитывать, в большинстве ситуаций применимы несколько стратегий. Вот несколько методов, которые могут работать, когда вы пытаетесь разложить математическое выражение на множители:

Наибольший общий делитель

Когда вы используете наибольший общий множитель для разделения компонентов выражения, вы ищете целое число или целое число, которое равномерно делится на каждую часть выражения. Извлечение наибольшего общего множителя — эффективный способ факторизации более простых выражений, таких как биномы.

Чтобы найти наибольший общий множитель, найдите наибольший член, который можно разделить на обе части вашего выражения. Например, наибольший общий делитель 8 и 12 будет равен 4, потому что 4 — это наибольшее число, которое делится на оба без остатка. Те же правила применяются к терминам, включающим переменные. Таким образом, наибольший общий делитель 8х и 12х будет 4х.

Группировка

Если члены выражения не имеют общих факторов, кроме 1, вы можете попробовать разбить его на более мелкие группы, чтобы найти общие факторы. Вы можете разделить выражения с тремя или более терминами на более мелкие выражения и вычислить их. Например, может показаться сложным разложить на множители x3+7×2+2x+14. Если вы сгруппируете это в (x3+7×2) и (2x+14), может быть легче увидеть, что общий делитель первой группы равен x2, а второй — 2.

Сумма-произведение

Фактор суммы-произведения полезен при разложении на множители трехчленов. Эта стратегия включает в себя поиск двух числительных, которые в сумме составляют один элемент вашего выражения и умножаются, чтобы получить другой элемент того же выражения. Если, например, вы пытаетесь разложить на множители трехчлен x2+7x+12, вы можете использовать метод суммы произведений, определив, что 3+4=7 и 3×4=12, а затем разделив эти числа.

Идеальный квадрат

Выражение также может быть получено путем взятия одного двучлена и умножения его самого на себя. Биномиал — это выражение, содержащее два члена. Вы можете записать совершенные квадратные множители, используя экспоненциальную запись. Например, если вы хотите разложить на множители x2+10x+25, вы можете сделать это как (x+5)2.

Разница квадратов

Еще одна распространенная модель факторинга — разность квадратов. Когда две части выражения представляют собой квадраты других чисел или переменных, это выражение можно разложить на множители, извлекая эти квадраты и записывая их как два выражения, состоящие из двух частей. Например, выражение x2-36 преобразуется в (x+6)(x-6), поскольку квадратный корень из x2 равен x, а квадратный корень из 36 равен 6.

Как факторизовать биномы

Биномиал — это математическое выражение, состоящее из двух частей, сложенных вместе. Например, ax + b — бином, потому что он состоит из двух компонентов — ax и b — сложенных вместе. В этом примере a и b представляют известные числа, а x представляет неизвестное число, также называемое переменной. Первая часть двучлена включает переменную, а вторая часть может включать или не включать переменную.

Когда вы факторизуете бином, вы пытаетесь разбить его на более простые выражения, которые вы можете перемножить вместе, чтобы получить биномиальное выражение. Вы можете выполнить следующие шаги при разложении бинома на множители:

1. Измените условия

Если одна или несколько частей или терминов бинома содержат показатель степени, это может помочь расположить члены в порядке по размеру показателя степени. Напомним, что показатель степени — это когда вы умножаете число само на себя определенное количество раз. Например, 24 — это экспоненциальное выражение, означающее 2 x 2 x 2 x 2.

2. Найдите наибольший общий делитель

После того, как вы упорядочите члены своего бинома, вы можете работать над поиском наибольшего общего делителя между ними. Наибольший общий множитель — это наибольшее число, которое делится на каждый член вашего бинома. Например, в выражении 9x + 6 и 9x, и 6 делятся на 3. Следовательно, наибольший общий делитель этих членов равен 3.

3. Разделите все термины на наибольший общий делитель.

Как только вы нашли наибольшее число, которое делится на каждый из ваших терминов, разделите свое выражение на этот наибольший общий делитель. Например, если вы разделите выражение 9x + 6 на 3, вы получите 3x + 2.

4. Перенастройте свое выражение, чтобы умножить ваш наибольший общий множитель обратно в

Помните, когда вы факторизуете бином, вы ищете упрощенные выражения, которые объединяются, чтобы получить это биномиальное выражение. Это означает, что все числа, удаленные из выражения, в конечном итоге должны вернуться в другом порядке. Если вы разделите 9x + 6 на 3, чтобы получить 3x + 2, вам нужно будет повторно включить 3 с помощью умножения. В этом примере он будет идти в начале, давая вам окончательный факторизованный результат 3 (3x + 2).

Как разложить трехчлены на множители

Трехчлены — это математические выражения, которые имеют три члена, в отличие от двучленов, которые имеют два. Например, ax2 + by + c является трехчленом, поскольку состоит из трех частей: ax2, bx и c. A, b и c и целые числа, также известные как целые числа. X — переменная или неизвестное число. Разложение на множители трехчлена отличается от разложения на множители двучлена тем, что в нем задействовано больше терминов. Трехчлены часто на самом деле являются произведением двух двучленов. Вы можете использовать эти шаги, чтобы разложить трехчлен:

1. Найдите r и s

Определите два целых числа, обычно называемые r и s, которые в сумме дают b и умножают на c. Например, если ваше выражение x2 + 5x + 6, вы можете заметить, что 2 + 3 = 5, что в этом выражении равно b. Вероятно, вы также заметите, что 2 x 3 = 6, что равно c. Следовательно, r = 2 и s = 3.

2. Перепишите выражение

Используя цифры, которые вы определили для r и s, перепишите выражение как x2 + rx + sx + c. Например, x2 + 5x + 6 будет выглядеть как x2 + 2x + 3x + 6.

3. Определите свои биномы

Используя эту расширенную версию вашего выражения, найдите два бинома, которые перемножаются вместе, чтобы составить это выражение. Эти биномы являются факторами вашего трехчленного уравнения. Помните, что когда вы умножаете два бинома, они идут в порядке первых членов, внешних членов, внутренних членов и последних членов. В этом примере x2 + 2x + 3x + 6 разбивается на (x + 3) (x + 2). Эти члены являются факторами биномиального выражения.

Как использовать квадратное уравнение

Одним из конкретных видов уравнений, в которых используются трехчленные выражения, является квадратное уравнение. Это уравнение устанавливает многочлен ax2 + bx + c равным нулю, и оно имеет множество практических приложений, которые делают факторинг практическим навыком. Квадратичные числа используются для расчета площади, прибыли, скорости и другой полезной информации. Попробуйте выполнить следующие шаги для использования квадратного уравнения:

1. Вспомним квадратную формулу

Конкретная формула, называемая квадратичной формулой, может решить трехчленное множество, равное нулю. Эта формула может найти факторы трехчленного квадратного уравнения:

х = [-b +- √(b2 – 4ac) ] / 2а

2. Определите цифры, связанные с a, b и c

Используя исходную формулу, найдите числа, которые находятся в той же позиции, что и переменные a, b и c в исходном выражении. Запомните эти цифры или запишите их. Например, если вы хотите решить 6×2+5x-6=0, вы должны знать, что a = 6, b = 5 и c = -6.

3. Подставьте известные вам числа в квадратную формулу

Напишите квадратную формулу, заменив а, b и с числами, которые вы определили. Используйте алгебраические навыки или научный калькулятор, чтобы вычислить значение x, когда вы используете как сложение, так и вычитание, как указано в формуле. Замена a, b и c в уравнении цифрами 6, 5 и -6 даст вам результат x=2/3 и x=-3/2.