Warum das wichtig ist und wie man es macht • BUOM

Die Fähigkeit, eine Gleichung aufzuschlüsseln, kann in vielen Geschäftsabläufen eine wichtige Fähigkeit sein. Das Zerlegen einiger mathematischer Gleichungen in Teile wird als Faktorisieren bezeichnet. Dieser Prozess kann besonders bei Jobs nützlich sein, bei denen es um die Analyse und Anwendung von Daten geht, da Personen in diesen Rollen häufig mit Zahlen rechnen, die andere Personen bereits ermittelt haben. In diesem Artikel definieren wir Factoring, diskutieren einige Factoring-Methoden und -Anwendungen und stellen einige Beispielgleichungen bereit.

Was sind Faktoren?

Faktoren sind Zahlen, Variablen oder Kombinationen aus Zahlen und Variablen, die Sie in bestimmten Arten mathematischer Gleichungen kombinieren. Wenn Sie zwei Faktoren in einer Gleichung multiplizieren, spricht man von einer Binomialgleichung. Wenn Sie drei Faktoren miteinander multiplizieren, spricht man von einem Trinom. Eine weitere spezielle Art von Gleichung, die Faktoren kombiniert, ist die quadratische Gleichung.

Factoring-Methoden

Obwohl es mehrere spezifische Arten von Ausdrücken gibt, die Sie in Betracht ziehen können, kommen in den meisten Situationen mehrere Strategien zur Anwendung. Hier sind einige Methoden, die möglicherweise funktionieren, wenn Sie versuchen, einen mathematischen Ausdruck zu faktorisieren:

Größter gemeinsamer Teiler

Wenn Sie den größten gemeinsamen Faktor verwenden, um die Komponenten eines Ausdrucks zu trennen, suchen Sie nach einer Ganzzahl oder einer Ganzzahl, die durch jeden Teil des Ausdrucks gleichmäßig teilbar ist. Das Extrahieren des größten gemeinsamen Faktors ist eine effektive Möglichkeit, einfachere Ausdrücke wie Binome zu faktorisieren.

Um den größten gemeinsamen Faktor zu ermitteln, ermitteln Sie den größten Term, der durch beide Seiten Ihres Ausdrucks geteilt werden kann. Der größte gemeinsame Teiler von 8 und 12 wäre beispielsweise 4, denn 4 ist die größte Zahl, die durch beide ohne Rest teilbar ist. Die gleichen Regeln gelten für Begriffe, die Variablen enthalten. Der größte gemeinsame Teiler von 8x und 12x ist also 4x.

Gruppierung

Wenn die Mitglieder eines Ausdrucks keine anderen gemeinsamen Faktoren als 1 haben, können Sie versuchen, ihn in kleinere Gruppen aufzuteilen, um gemeinsame Faktoren zu finden. Sie können Ausdrücke mit drei oder mehr Begriffen in kleinere Ausdrücke aufteilen und diese auswerten. Beispielsweise kann es schwierig erscheinen, x3+7×2+2x+14 zu faktorisieren. Wenn Sie dies in (x3+7×2) und (2x+14) gruppieren, ist es möglicherweise einfacher zu erkennen, dass der gemeinsame Faktor der ersten Gruppe x2 und der zweite 2 ist.

Summenprodukt

Der Summenproduktfaktor ist bei der Faktorisierung von Trinomen hilfreich. Bei dieser Strategie geht es darum, zwei Ziffern zu finden, die zusammen ein Element Ihres Ausdrucks ergeben, und sie zu multiplizieren, um ein weiteres Element desselben Ausdrucks zu erhalten. Wenn Sie beispielsweise versuchen, das Trinom x2+7x+12 zu faktorisieren, können Sie die Methode der Produktsumme verwenden, indem Sie 3+4=7 und 3×4=12 bestimmen und diese Zahlen dann dividieren.

Perfektes Viereck

Der Ausdruck kann auch erhalten werden, indem man ein Binomial nimmt und es mit sich selbst multipliziert. Ein Binomial ist ein Ausdruck, der zwei Begriffe enthält. Sie können perfekte quadratische Faktoren in wissenschaftlicher Notation schreiben. Wenn Sie beispielsweise x2+10x+25 faktorisieren möchten, können Sie dies als (x+5)2 tun.

Quadratischer Unterschied

Ein weiteres gängiges Faktorisierungsmodell ist die Quadratdifferenz. Wenn zwei Teile eines Ausdrucks die Quadrate anderer Zahlen oder Variablen sind, kann der Ausdruck faktorisiert werden, indem man diese Quadrate nimmt und sie als zwei zweiteilige Ausdrücke schreibt. Beispielsweise wird der Ausdruck x2-36 zu (x+6)(x-6), da die Quadratwurzel von x2 x und die Quadratwurzel von 36 6 ist.

So faktorisieren Sie Binome

Ein Binomial ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei addierten Teilen besteht. Beispielsweise ist ax + b ein Binomial, da es aus zwei addierten Komponenten, ax und b, besteht. In diesem Beispiel stehen a und b für bekannte Zahlen und x für eine unbekannte Zahl, auch Variable genannt. Der erste Teil des Binomials enthält die Variable, und der zweite Teil kann die Variable enthalten oder nicht.

Wenn Sie mit einem Binomialfaktor faktorisieren, versuchen Sie, es in einfachere Ausdrücke zu zerlegen, die Sie miteinander multiplizieren können, um einen Binomialausdruck zu erhalten. Beim Faktorisieren eines Binomials können Sie die folgenden Schritte ausführen:

1. Ändern Sie die Bedingungen

Wenn ein oder mehrere Teile oder Terme eines Binomials einen Exponenten enthalten, kann dies dabei helfen, die Terme nach der Größe des Exponenten zu ordnen. Denken Sie daran, dass ein Exponent entsteht, wenn Sie eine Zahl eine bestimmte Anzahl von Malen mit sich selbst multiplizieren. Beispielsweise ist 24 ein Exponentialausdruck mit der Bedeutung 2 x 2 x 2 x 2.

2. Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler

Sobald Sie die Begriffe Ihres Binomials geordnet haben, können Sie daran arbeiten, den größten gemeinsamen Faktor zwischen ihnen zu finden. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl, die durch jeden Term in Ihrem Binomial teilbar ist. Beispielsweise sind im Ausdruck 9x + 6 sowohl 9x als auch 6 durch 3 teilbar. Daher ist der größte gemeinsame Teiler dieser Terme 3.

3. Teilen Sie alle Terme durch ihren größten gemeinsamen Faktor.

Sobald Sie die größte Zahl gefunden haben, die durch jeden Ihrer Terme teilbar ist, dividieren Sie Ihren Ausdruck durch den größten gemeinsamen Teiler. Wenn Sie beispielsweise den Ausdruck 9x + 6 durch 3 teilen, erhalten Sie 3x + 2.

4. Ordnen Sie Ihren Ausdruck neu an, um Ihren größten gemeinsamen Faktor wieder mit zu multiplizieren

Denken Sie daran, dass Sie bei der Faktorisierung mit einem Binomial nach vereinfachten Ausdrücken suchen, die zusammen diesen Binomialausdruck ergeben. Das bedeutet, dass alle aus einem Ausdruck entfernten Zahlen irgendwann in einer anderen Reihenfolge zurückkommen müssen. Wenn Sie 9x + 6 durch 3 dividieren, um 3x + 2 zu erhalten, müssen Sie die 3 durch Multiplikation wieder einbeziehen. In diesem Beispiel wird es am Anfang beginnen und Sie erhalten ein faktorisiertes Endergebnis von 3 (3x + 2).

Wie man Trinome faktorisiert

Trinome sind mathematische Ausdrücke, die drei Terme haben, im Gegensatz zu Binomialen, die zwei haben. Beispielsweise ist ax2 + by + c ein Trinom, da es aus drei Teilen besteht: ax2, bx und c. A, b und c sowie ganze Zahlen werden auch als Ganzzahlen bezeichnet. X ist eine Variable oder unbekannte Zahl. Die Faktorisierung eines Trinoms unterscheidet sich von der Faktorisierung eines Binomials darin, dass mehr Terme erforderlich sind. Trinome sind oft tatsächlich das Produkt zweier Binomiale. Mit diesen Schritten können Sie das Trinom erweitern:

1. Finden Sie r und s

Bestimmen Sie zwei ganze Zahlen, normalerweise r und s genannt, die sich zu b addieren, und multiplizieren Sie sie mit c. Wenn Ihr Ausdruck beispielsweise x2 + 5x + 6 ist, stellen Sie möglicherweise fest, dass 2 + 3 = 5, was in diesem Ausdruck gleich b ist. Sie werden wahrscheinlich auch bemerken, dass 2 x 3 = 6, was c entspricht. Daher ist r = 2 und s = 3.

2. Schreiben Sie den Ausdruck neu

Schreiben Sie den Ausdruck mithilfe der Zahlen, die Sie für r und s ermittelt haben, in x2 + rx + sx + c um. Zum Beispiel würde x2 + 5x + 6 wie folgt aussehen: x2 + 2x + 3x + 6.

3. Definieren Sie Ihre Binome

Finden Sie mithilfe dieser erweiterten Version Ihres Ausdrucks die beiden Binome, die miteinander multipliziert werden, um diesen Ausdruck zu bilden. Diese Binome sind die Faktoren Ihrer Drei-Term-Gleichung. Denken Sie daran, dass die Multiplikation zweier Binome in der Reihenfolge erster Terme, äußerer Terme, innerer Terme und letzter Terme erfolgt. In diesem Beispiel wird x2 + 2x + 3x + 6 in (x + 3) (x + 2) zerlegt. Diese Begriffe sind Faktoren des Binomialausdrucks.

So verwenden Sie eine quadratische Gleichung

Eine besondere Art von Gleichung, die Ausdrücke mit drei Termen verwendet, ist die quadratische Gleichung. Diese Gleichung setzt das Polynom ax2 + bx + c gleich Null und hat viele praktische Anwendungen, die das Faktorisieren zu einer praktischen Fähigkeit machen. Quadratische Zahlen werden zur Berechnung von Fläche, Gewinn, Geschwindigkeit und anderen nützlichen Informationen verwendet. Versuchen Sie die folgenden Schritte, um eine quadratische Gleichung zu verwenden:

1. Erinnern Sie sich an die quadratische Formel

Eine bestimmte Formel, quadratische Formel genannt, kann eine Trinomialmenge gleich Null lösen. Mit dieser Formel können die Faktoren einer dreigliedrigen quadratischen Gleichung ermittelt werden:

x = (-b +- √(b2 – 4ac) ) / 2a

2. Identifizieren Sie die mit a, b und c verbundenen Zahlen

Finden Sie mithilfe der Originalformel die Zahlen, die sich an derselben Position wie die Variablen a, b und c im Originalausdruck befinden. Merken Sie sich diese Zahlen oder schreiben Sie sie auf. Wenn Sie beispielsweise 6×2+5x-6=0 lösen möchten, sollten Sie wissen, dass a = 6, b = 5 und c = -6.

3. Setzen Sie die Ihnen bekannten Zahlen in die quadratische Formel ein

Schreiben Sie die quadratische Formel und ersetzen Sie a, b und c durch die von Ihnen ermittelten Zahlen. Verwenden Sie algebraische Fähigkeiten oder einen wissenschaftlichen Taschenrechner, um den Wert von x zu berechnen, wenn Sie wie in der Formel angegeben sowohl Addition als auch Subtraktion verwenden. Wenn Sie a, b und c in der Gleichung durch 6, 5 und -6 ersetzen, erhalten Sie das Ergebnis x=2/3 und x=-3/2.