So berechnen Sie die Stichprobenkovarianz • BUOM

Stichprobenkovarianz: Cov(X,Y) = Σ(Xi – μ)(Yj – ν) / (n-1)

Wenn die Grundgesamtheit zu groß ist, um die Kovarianz zu berechnen, können Statistiker und andere, die sich auf Mathematik verlassen, eine kleinere Stichprobe zur Analyse heranziehen. Die Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit ist für die Berechnung der Kovarianz effizienter, da der Prozess schnellere Berechnungen ermöglicht. Beim Ermitteln der Kovarianz einer Stichprobenpopulation muss eine Formel verwendet werden, die sich kaum von der Formel zur Berechnung der statistischen Kovarianz unterscheidet. In diesem Artikel besprechen wir anhand eines Beispiels, was Kovarianz und Stichprobenkovarianz sind, wie sich Kovarianz von Korrelation unterscheidet und wie Stichprobenkovarianz berechnet wird.

Was ist Kovarianz?

Kovarianz ist eine statistische Größe, die die Beziehung zwischen zwei Zufallsvariablen und den Grad der Änderung misst, die in beiden Variablen gleichzeitig auftritt. Sie können die Kovarianz auch als Varianz zwischen zwei Zufallsvariablen messen, wenn zwischen den Variablen keine Beziehung besteht.

Die Messung der Kovarianz kann Ihnen auch Aufschluss über die Art der Beziehung zwischen Daten in zwei verschiedenen Populationen geben, beispielsweise über Korrelation oder Kausalität. Darüber hinaus kann die Kovarianz entweder positiv oder negativ sein. Positive Kovarianz gibt an, dass sich zwei Variablen in die gleiche Richtung bewegen oder ändern, während negative Kovarianz Variablen angibt, die sich in die entgegengesetzte oder entgegengesetzte Richtung bewegen.

Was ist Stichprobenkovarianz?

Bei der Stichprobenkovarianz wird eine kleinere Stichprobe der Grundgesamtheit herangezogen und die Beziehung zwischen zwei Zufallsvariablen aus der Stichprobe gemessen. Diese Metrik ist nützlich, wenn es um große Bevölkerungsgruppen geht, beispielsweise um Aktieninvestitionsinstrumente oder um langfristige medizinische Forschung. In diesen Fällen kann die Berechnung der Stichprobenkovarianz Statistikern und Analysten ein tieferes Verständnis dafür vermitteln, wie sich ihre Ergebnisse auf die größere Population auswirken. Durch die Stichprobenkovarianz können Daten für die prädiktive Analyse auch effizienter bereitgestellt werden, da Sie mit kleineren Stichproben arbeiten können. Um die Stichprobenkovarianz zu berechnen, verwenden Sie die Formel:

Cov(X,Y) = Σ(Xi – μ)(Yj – ν) / (n-1)

Wo sind die Teile der Gleichung:

• Cov(X,Y) stellt die Stichprobenkovarianz von X und die Stichprobenkovarianz von Y dar.

• Σ(Xi) = μ, das ist der erwartete Mittelwert (Durchschnittswert) für Ihre X-Werte.

• Σ(Yj) = ν, das ist der erwartete Durchschnitt für Ihre Y-Werte.

• Σ ist die Operation zum Summieren der Datenpunkte aus jeder Stichprobe.

• Die Variable n ist die Anzahl der Datenpunkte in der Stichprobe.

Kovarianz vs. Korrelation

Obwohl sowohl Kovarianz als auch Korrelation die Beziehung zwischen zwei Variablen messen, können die beiden Werte Ihnen unterschiedliche Informationen liefern. Beim Messen der Kovarianz berechnen Sie die Gesamtvariation zwischen zwei Zufallsvariablen, wenn diese auf der Grundlage der vorhergesagten Werte berechnet werden. Mithilfe dieser Messung können Sie bestimmen, ob die Kovarianz positiv oder negativ ist. Die Kovarianz konzentriert sich jedoch nicht auf die Art der Beziehung zwischen Variablen oder darauf, ob eine Variable von einer anderen abhängt.

Allerdings berechnet die Korrelation die Art der Beziehung und ob die unabhängige Variable die abhängige Variable beeinflusst. Im Gegensatz zur Kovarianz bleibt der Korrelationskoeffizient ein reiner Wert und keine Maßeinheit. Dies ist wichtig, wenn kausale Faktoren für Ereignisse oder Ergebnisse in einem Beispieldatensatz identifiziert werden.

So berechnen Sie die Stichprobenkovarianz

Befolgen Sie diese Schritte und wenden Sie die Stichprobenkovarianzformel an, um die Stichprobenkovarianz zu bestimmen:

1. Sammeln Sie Daten von beiden Proben

Bevor Sie die Formel anwenden, benötigen Sie einen Satz Beispieldaten aus zwei verschiedenen Grundgesamtheiten. Angenommen, eine Stichprobe von Daten stellt den Wert von Die erste Prüfung sollte X und die zweite Prüfung Y darstellen.

Jedes Testergebnis wird zu einem Datenpunkt in der Grundgesamtheit. Da der Professor jedoch eine große Anzahl von Prüfungen benoten muss, möchte er sich möglicherweise auf eine Stichprobe von fünf Ergebnissen für jede Prüfung konzentrieren.

2. Berechnen Sie den Mittelwert für die Stichproben X und Y.

Sobald Sie die Stichprobe für X und die Stichprobe für Y verteilt haben, können Sie den Mittelwert für beide Stichproben berechnen. Im Beispiel der Testergebnisse ermittelt der Professor den Durchschnitt für jede Prüfung. Es ist wichtig zu beachten, dass die Werte von Xi und Yj den ersten Datenpunkt in jeder Stichprobe darstellen, wenn der Professor die Punkte in aufsteigender Reihenfolge anordnet. Die μ- und ν-Werte sind die Mittelwerte der X- und Y-Proben.

3. Ermitteln Sie die Differenz zwischen den einzelnen Durchschnittswerten

Sobald Sie die Durchschnittswerte für jeden Stichprobensatz haben, subtrahieren Sie den Durchschnitt von Ihren Xi- und Yj-Werten für jeden Punkt in der Stichprobe. Unter Verwendung des vorherigen Beispiels von zwei Prüfungen verwendet der Professor fünf von 125 Bewertungen, ermittelt den Mittelwert der ersten Stichprobe Wenn die Punktzahl der Stichprobe Y 54 beträgt, subtrahiert der Professor diese Werte in die Formel, bevor er die Differenzen multipliziert.

4. Multiplizieren Sie die Differenz für X und die Differenz für Y und addieren Sie

Nachdem Sie den Mittelwert Ihrer Stichproben X und Y von den anfänglichen Schätzungen abgezogen haben, können Sie die Differenz multiplizieren. Wiederholen Sie diesen Vorgang für jeden Datenpunkt in Ihrer Stichprobe und summieren Sie dann alle Produkte. Dieser Wert ist die Zahl, durch die Ihre Datenpunkte bei der Berechnung des Endergebnisses geteilt werden. Wenn der Professor bei Prüfungsergebnissen die Stichprobenkovarianz für fünf Ergebnisse jeder Prüfung misst, führt er eine Summationsoperation zwischen jedem Produkt seiner Stichproben X und Y durch.

5. Subtrahieren Sie eins von der Anzahl der Datenpunkte.

Ersetzen Sie vor der Division die Anzahl der Datenpunkte in Ihrem Stichprobensatz durch die Variable n in der Formel. Wenn Sie beispielsweise 17 Datenpunkte haben, ersetzen Sie n in der Formel durch 17. Nachdem Sie den Wert des Datenpunkts eingegeben haben, subtrahieren Sie eins von dieser Zahl. Im Beispiel der Prüfungsergebnisse des Professors wäre n fünf, da der Professor die Kovarianz für diese Stichprobengröße von 125 Ergebnissen für jede Prüfung berechnet. Subtrahiert man eins vom Wert von n, erhält man vier.

6. Teilen Sie, um die Stichprobenkovarianz zu erhalten

Sobald Sie alle Werte in der Formel haben, dividieren Sie das Produkt, das Sie durch Multiplikation der X- und Y-Werte in den vorherigen Schritten erhalten haben. Dieses Ergebnis gibt Ihnen die Stichprobenkovarianz und die Änderungsrichtung zwischen Ihren Stichproben X und Y an, wodurch Sie mehr Informationen über die größeren Populationen erhalten, aus denen Sie Ihre Stichproben entnommen haben. Wenn das Ergebnis eine negative Zahl ist, liegt eine negative Kovarianz mit der umgekehrten Beziehung der Variablen vor. Wenn das Ergebnis positiv ist, ist die Kovarianz positiv, was auf ähnliche Änderungen zwischen den Variablen hinweist.

Beispiel für die Berechnung der Stichprobenkovarianz

Nehmen wir in diesem Beispiel an, dass ein Investmentanalyst die Preisbewegungen zwischen zwei verschiedenen Aktieninstrumenten verstehen möchte. Mithilfe der Beispiel-Kovarianzformel kann ein Analyst den Stichproben-Kovarianzwert für Aktie X und Aktie Y berechnen. Der Analyst sammelt Preisdaten für die Aktien X und Y für die letzten drei Monate und stellt fest:

Aktie

Durchschnitt (Aktie X) = (510 $ + 480 $ + 495 $) / (3) = 495 $.

Durchschnitt (Aktie Y) = (560 $ + 505 $ + 540 $) / (3) = 535 $.

Anhand dieser Daten und der Stichprobenwerte für jedes Börseninstrument berechnet der Analyst die Stichproben-Kovarianzformel zur Berechnung der Dreimonatskovarianz:

Cov(X,Y) = Σ(Xi – µ)(Yj – ν) / (n-1) =

Cov(Lager X, Lager Y) = (510 – 495)(560 – 535) + (480 – 495)(505 – 535) + (495 – 495)(540 – 535) / (3-1) =

Cov(Lager X, Lager Y) = (15)(25) + (-15)(-30) + (0)(5) / (2) =

Cov(Lager X, Lager Y) = (325) + (450) + (0) / (2) =

Cov(Bestand X, Bestand Y) = 775/2 = 387,5

Das Kovarianzergebnis der Stichprobe beträgt 387,5, was auf eine positive Kovarianz zwischen beiden Aktienoptionen hinweist. Anhand dieses Wertes kann der Analyst dann die Korrelation beider Aktien berechnen und feststellen, ob sich eine Aktie relativ zur anderen Aktie als abhängige Variable verhält. Dies ermöglicht es dem Investmentanalysten, die Korrelation mithilfe der Stichprobenkovarianz zu berechnen, um festzustellen, ob Aktienkursbewegungen zwischen den einzelnen Instrumenten einen Ursache-Wirkungs-Zusammenhang herstellen.