So berechnen Sie das Volumen von 3D-Formen (mit Beispielen) • BUOM

Geometrische Konzepte wie Oberfläche und Kapazität finden in vielen Bereichen wichtige Anwendungen. Ingenieure, Grafikdesigner, Animatoren und andere Fachleute für visuelles Design messen häufig Volumen und andere Messgrößen, um Pläne, Zeichnungen und Designs für visuelle Prozesse und Produkte zu entwickeln. Für die Berechnung des Volumens sind je nach gemessener Größe ebenfalls unterschiedliche Formeln erforderlich. In diesem Artikel schauen wir uns anhand einiger Beispiele an, wie groß das Volumen einer 3D-Figur ist, wie es sich von der Oberfläche unterscheidet und wie man das Volumen verschiedener Festkörper berechnet.

Was ist Volumen?

Das Volumen misst die Kapazität eines Objekts. Es handelt sich um eine Metrik für die 3D-Modellierung, die in vielen Bereichen verwendet wird, darunter Design und Entwurf, Grafikdesign und Produktentwicklung. Die Berechnung des Volumens hängt von der Form des zu messenden Objekts ab, da verschiedene 3D-Formen spezifische Formeln zur Berechnung des Volumens haben. Darüber hinaus wird das Volumen in Kubikeinheiten gemessen, einschließlich metrischer und imperialer Einheiten.

Die Volumeneinheit ist die Kubikeinheit, die die drei Dimensionsgrade dreidimensionaler Körper darstellt. Wenn man also das Volumen einer Figur in Zentimetern misst, sind es Kubikzentimeter. Das Volumen gilt sowohl für feste als auch flüssige Behälter, z. B. Kubikmeter, Fuß, Meter, Liter, Milliliter und Gallonen. Typischerweise erhalten Sie bei der Lösung von Volumenproblemen eine bestimmte Maßeinheit, die Sie bei der Ermittlung kubischer Abmessungen verwenden können.

Volumen vs. Fläche

Das Volumen unterscheidet sich von der Fläche, da es die innere Kapazität einer dreidimensionalen Figur misst. Die Fläche multipliziert nur zwei Seiten einer Figur, um quadratische Einheiten zu erhalten, während das Volumen drei Dimensionen multipliziert. Darüber hinaus gilt „Fläche“ nur für die Oberfläche einer Formfläche, die eine Seite eines 3D-Volumenkörpers bilden kann. Die Oberfläche ist ebenfalls ein Teil des Volumens, wobei eine dreidimensionale Figur mehrere Oberflächen hat, von denen jede ihre eigene Flächendimension hat.

So berechnen Sie das Volumen einer dreidimensionalen Figur

Verwenden Sie die folgenden Schritte, um das Volumen verschiedener 3D-Formen zu berechnen:

1. Berechnen Sie das Volumen des Würfels

Eine übliche Volumenmessung ist die Kapazität eines idealen Würfels. Wenn Sie das Volumen eines Würfels messen, verwenden Sie die Formel V = s**3, wobei s das Maß einer Seite der Figur darstellt. Da Würfel gleiche Seiten- und Winkelmaße haben, erhöhen Sie einfach das Seitenmaß auf die Potenz von drei. Beispielsweise hat ein Würfel mit einer Seitenlänge von 13,5 Zentimetern ein Volumen von (13,5)3 oder 2460,375 Kubikzentimetern.

2. Berechnen Sie das Volumen rechteckiger Prismen

Rechteckprismen sind kastenförmige Formen, deren Volumen durch Multiplikation der Länge, Breite und Höhe oder Tiefe des Objekts bestimmt wird. Das Volumen im mathematischen Ausdruck ist gleich V = lwh, wobei l die Länge, w die Breite und h die Höhe ist. Nehmen wir zum Beispiel an, ein Schuhkarton ist 14 Zoll lang, 6 Zoll breit und 4 Zoll tief oder hoch. Die Multiplikation dieser Werte in der Formel ergibt das Volumen (14)(6)(4) = 336 Kubikzoll.

3. Berechnen Sie das Volumen des Zylinders

Ein Zylinder ist eine Form, die zur Berechnung des Volumens die Verwendung von Pi (π) erfordert. Da diese 3D-Form an jedem Ende zwei Kreise hat, ist auch ein Radius erforderlich. Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet: V = πr2h, wobei π ungefähr gleich 3,14 ist, r der Radius und h die Höhe des Zylinders ist. Wenn Sie beispielsweise die Formel anwenden, wenn die Abmessungen eines Zylinders 5,5 mm im Radius und 7,5 mm in der Höhe betragen, ergibt sich ein ungefähres Volumen von (3,14)(5,5)(5,5)(7,5) = 712,3875 Kubikmillimeter.

4. Berechnen Sie das Volumen des Kegels

Ein Kegel ist eine kreisförmige Pyramide, die aus einer runden Fläche und einem Zylinder besteht, der sich zur Spitze hin verjüngt. Da Kegel runde Kanten haben, ist zur Berechnung des Volumens auch die Messung von Pi erforderlich. Mit der Formel V = 1/3πr2h und den ungefähren Abmessungen eines Kegels mit einem Radius von 8 und einer Höhe von 10 Zentimetern erhalten Sie ein Volumen von ungefähr (0,33)(3,14)(8)(8)(10) = 663,168 . Kubikzentimeter.

5. Berechnen Sie das Volumen einer regelmäßigen Pyramide

Pyramiden sind einzigartige Körper, die regelmäßig sein können, mit einer quadratischen Grundfläche und vier gleichseitigen dreieckigen Flächen, oder sie können unregelmäßig sein, mit rechteckigen Grundflächen und mehreren Seiten. Die Volumenformel zur Messung einer regelmäßigen Pyramide lautet: V = 1/3bh, wobei b die Größe der Grundfläche und h die Höhe der Pyramide ist. Die Multiplikation dieser beiden Seiten mit 1/3 ergibt das Volumen. Angenommen, Sie möchten eine massive Pyramide mit einer Grundfläche von 5 Fuß und einer Höhe von 9 Fuß vermessen, ergibt die Anwendung der Volumenformel (0,33)(5)(9) = 14,85 Kubikfuß.

6. Berechnen Sie das Volumen der Kugel

Kugeln sind interessante Formen, für deren Messung ebenfalls das Maß Pi erforderlich ist. Da sie keine rechten Seiten oder Winkel haben, erhöhen Sie den Radius für die kubische Dimension auf die dritte Potenz. Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet V = 4/3πr3, wobei π 3,14 und r der Radius ist. Wenn Sie beispielsweise einen runden Ballon haben, den Sie mit Wasser füllen möchten, und dessen Radius sich auf ein Volumen von 3 Millilitern vergrößert hat, können Sie ermitteln, wie viele Kubikmillimeter Wasser er aufnehmen kann, indem Sie (1,33)(3,14)( multiplizieren 27 ), um ein Volumen von etwa 112,7574 Kubikmillimetern zu erhalten.

7. Berechnen Sie das Volumen des Ellipsoids

Ein Ellipsoid ist ein dreidimensionaler Körper in Form einer Ellipse oder eines Ovals. Da es drei Symmetrielinien hat, multiplizieren Sie diese Hauptachsen mit der Metrik π und vier Dritteln, um das Volumen zu erhalten. Die Formel für das Volumen eines Ellipsoids lautet: V = 4/3πabc, wobei a, b und c die Hauptachsen sind. Die Anwendung der Formel auf ein Beispielellipsoid mit Achsen von 4, 6 und 10 Zentimetern ergibt ein ungefähres Volumen von (1,33)(3,14)(4)(6)(10) = 1002,288 Kubikzentimeter.

Beispiele zur Volumenberechnung

Nutzen Sie die folgenden Anwendungsbeispiele aus der Praxis, um die allgemeinen Volumenformeln anzuwenden:

Beispiel 1

Ein großes Gesundheits- und Fitnesscenter renoviert sein Schwimmbad. Techniker entleeren den Pool, reinigen und reparieren Oberflächen und füllen den Pool wieder auf. Wenn die Länge, Breite und Tiefe des Beckens jeweils 15, 6 und 2,5 Yards betragen, kann das Wartungspersonal das Volumen des Beckens mithilfe der Formel für ein rechteckiges Prisma bestimmen. Die Anwendung der Gleichung V = lwh ergibt das Volumen (15)(6)(2,5) = 225 Kubikyards. Obwohl dieses Volumen nur das Innere des Pools misst, können Techniker damit abschätzen, wie viele Gallonen Wasser sie zum Nachfüllen des Pools benötigen.

Beispiel 2

Der Kunsthandwerker, der Epoxid- und Harzfiguren herstellt, verwendet für einige seiner Stücke die quadratische Pyramidenform. Der Künstler möchte messen, wie viel Platz in der Form vorhanden ist, um ihn mit Pulver, Mineralflocken und anderen kleinen Dekorationsgegenständen zu füllen. Wenn die Form eine quadratische Grundfläche von 6 Zoll und eine Höhe von 8 Zoll hat, kann der Künstler die Volumenformel für eine regelmäßige Pyramide anwenden, um deren Kapazität zu messen. In der Formel V = 1/3bh multipliziert der Künstler (0,33)(6)(8), um ein Volumen von 15,84 Kubikzoll zu erhalten.