So berechnen Sie Kombination und Wahrscheinlichkeit • BUOM

Kombinationen gibt es in vielen Formen, und das Verständnis, wie man die Wahrscheinlichkeit einer Kombination berechnet, kann in vielen mathematisch-naturwissenschaftlichen Berufen eine nützliche mathematische Fähigkeit sein. Sie können die Kombination zufällig generieren oder absichtlich festlegen. Die Fähigkeit, die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses zu berechnen, bleibt jedoch in beiden Fällen gleich und kann ein nützliches professionelles Werkzeug sein. In diesem Artikel besprechen wir die Definition einer Kombination in der Mathematik, wie sie sich von einer Permutation unterscheidet und wie man Kombinationen in den verschiedenen Formen berechnet, die eine Kombination annehmen kann.

Was ist eine Kombination in der Mathematik?

Eine Kombination ist eine Reihe von Elementen, die unter bestimmten Bedingungen und Einschränkungen erstellt werden. Eine Kombination kann vollständig aus eindeutigen Elementen bestehen oder wiederholte Elemente enthalten, und die Kombination erfordert möglicherweise, dass diese Elemente in einer bestimmten Reihenfolge vorliegen oder dass einfach alle richtigen Elemente vorhanden sind. In der Mathematik ermöglicht das Verständnis der Parameter einer Kombination die Berechnung der verschiedenen Anzahl möglicher Kombinationen, die diese Anforderungen erfüllen, und damit die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ergebnis eintritt.

Kombination versus Permutation

Kombinationen und Permutationen sind ähnliche Konzepte. Für die Permutation gelten jedoch zusätzliche Regeln, die sie zu einer Teilmenge von Kombinationen machen. Eine Permutation ist eine Art Kombination, bei der es nicht nur wichtig ist, die richtigen Elemente zu haben, sondern auch, sie in der richtigen Reihenfolge anzuordnen.

Wenn Sie beispielsweise zufällig fünf Murmeln aus einem Beutel mit Murmeln auswählen und bestimmen, wie viele verschiedene Farbkombinationen Sie zeichnen können, spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge Sie sie zeichnen, sodass diese Kombination einfach ist. Beim Versuch, ein dreistelliges Schloss zu öffnen, ist es wichtig, nicht nur die richtigen Zahlen einzugeben, sondern auch diese in der richtigen Reihenfolge anzuordnen. Ein Schloss ist eine Kombination, aber auch eine Permutation, die die Gesamtzahl der Konfigurationen erhöht und die Komplexität erhöht.

So berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit einer Kombination

Es gibt verschiedene Arten von Kombinationsproblemen, und jedes erfordert einen eigenen Berechnungssatz. Zu verstehen, wie man die Art des Kombinationsproblems und die richtige Formel zur Lösung dieses Problems bestimmt, ist eine wichtige Fähigkeit zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Im Folgenden finden Sie die Schritte, die Ihnen bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer Kombination helfen:

1. Verstehen Sie die mathematische Notation von Kombinationen

Obwohl unterschiedliche kombinierte Wahrscheinlichkeitsprobleme unterschiedliche mathematische Formeln erfordern, enthalten sie dieselben Schlüsselkonzepte und Variablen. Wichtige Begriffe und Symbole zum Verständnis:

• Faktorielle Notation: Bei der faktoriellen Notation setzen Sie unmittelbar nach der Zahl ein Ausrufezeichen. Dies ist ein mathematisches Symbol, das den Wert darstellt, den Sie erhalten, wenn Sie eine Zahl nacheinander mit jeder ganzen Zahl multiplizieren, die kleiner als diese ist, bis hin zu eins. Beispiel: „3!“ entspricht dem Schreiben von 3 x 2 x 1.

• Pascalsches Dreieck: Mithilfe des Pascalschen Dreiecks können Sie schnell einige Kombinationslösungen finden. Pascals Dreieck ist eine Reihe von Zahlen, die mit einer in der obersten Reihe beginnt und jede weitere Reihe mit den ersten zwei Zahlen, dann mit drei Zahlen usw. füllt, um eine Dreiecksform zu erzeugen. Jede Zahl in einem Dreieck ist gleich der Summe der Zahl darüber und links und der Zahl darüber und rechts.

• Variable n: Die Variable n stellt die Anzahl der Optionen für jede Auswahl in einer Kombination dar. Beispielsweise hat ein Schloss mit drei Ziffern, von denen jede zwischen 0 und 9 liegen kann, einen n-Wert von 10, da für jede Position in der Kombination 10 mögliche Ziffern vorhanden sind.

• Variable r: Die Variable r gibt an, wie oft Sie eine Auswahl aus potenziellen Elementen treffen. Für die Beispielkombination ist r gleich drei, da die Sperrpermutation drei Ziffern enthält.

2. Bestimmen Sie Ihren Paarungsstil

Um bei der Berechnung Ihrer Kombination die richtige Formel anzuwenden, ist es wichtig, die Art der Berechnung zu bestimmen, die Sie durchführen. Der erste wichtige Punkt ist, ob Sie eine Permutation oder eine Kombination berechnen. Sie können dann bestimmen, ob derselbe Wert während der Kombination wiederholt werden darf. Dadurch entstehen vier Berechnungsarten, eine für jedes potenzielle Paar aus Kombination oder Permutation und Wiederholung oder Nichtwiederholung.

3. Wählen Sie die entsprechende Formel aus

Nachdem Sie den Kombinationsstil bestimmt haben, den Sie berechnen möchten, ist es wichtig, die richtige Formel zu verwenden, um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses zu ermitteln. Vier Kombinationswahrscheinlichkeitsgleichungen:

• Permutation mit Wiederholung: Gesamtpermutationen = n^r

• Permutation ohne Wiederholung: Gesamtzahl der zu wählenden Permutationen = n! / (n – r)!

• Kombination mit Wiederholung: Gesamtkombinationen = n! / (g! x (p – g)!)

• Kombination ohne Wiederholungen: Gesamtkombinationen = (r + n – 1)! / (g! x (n – 1)!)

4. Variablen eingeben und berechnen

Indem Sie die richtige Formel mit Ihrer Anzahl an Optionen und der Anzahl der Optionen kombinieren, können Sie die Gesamtzahl der Kombinationen oder Permutationen berechnen. Fügen Sie Zahlen anstelle von Variablen in die Formel ein und berechnen Sie das Ergebnis. Um die Anzahl der Kombinationen oder Permutationen in die Wahrscheinlichkeit, bestimmte Ergebnisse zu erhalten, umzurechnen, dividieren Sie eins durch das Ergebnis Ihrer Berechnung. Sie können die Wahrscheinlichkeit auch in einen Prozentsatz umwandeln, indem Sie sie mit 100 multiplizieren.

Beispiele für Kombinationsberechnungen

Während Sie zum Berechnen der Wahrscheinlichkeiten verschiedener Kombinationsstile lediglich Formeln benötigen, kann es hilfreich sein, die mathematische Logik hinter ihrer Entstehung zu verstehen. Diese Beispiele zeigen, warum jede Formel ihre eigene einzigartige Struktur hat und wie man sie zur Durchführung von Berechnungen verwendet:

Beispiel einer Permutation mit Wiederholung

Herauszufinden, wie viele Permutationen es für eine wiederholbare Kombination gibt, ist die einfachste der verschiedenen Kombinationsberechnungen. Multiplizieren Sie die Anzahl der Optionen für jedes Element der Permutation mit der Potenz der Anzahl der Elemente.

Beispielsweise verfügt der Tresor über ein Drehrad mit 100 möglichen Zahlen. Um den Safe zu öffnen, müssen Sie drei Zahlen in der richtigen Reihenfolge richtig umdrehen. Es gibt 100 Optionen für jedes Element und drei Elemente, also multiplizieren Sie 100 dreimal mit sich selbst. Es gibt 1 Million Permutationen des Tresors.

Gesamtpermutationen = 100^3 = 1.000.000

Beispiel einer Permutation ohne Wiederholung

Um die Anzahl der Optionen für diese Permutation zu berechnen, ermitteln Sie zunächst den Faktorwert der Gesamtzahl der Optionen für jedes Element und dann den Faktorwert der Anzahl der Optionen minus der Anzahl der von Ihnen ausgewählten Elemente. Wenn Sie das erste Ergebnis durch das zweite dividieren, erhalten Sie die Gesamtzahl der Permutationen.

Ein Kind hat zum Beispiel eine Tüte mit fünf Bällen und holt nach dem Zufallsprinzip drei heraus. Sie möchten ermitteln, wie viele Permutationen das Kind zufällig auswählen kann. Zuerst ermitteln Sie die Fakultät von fünf, also 120. Dann ermitteln Sie die Fakultät von zwei, also zwei, da das Kind drei Murmeln zieht, also zwei weniger als fünf. Indem Sie 120 durch 2 dividieren, ermitteln Sie, dass es beim Ziehen von drei Kugeln 60 mögliche Permutationen gibt.

Gesamtpermutationen = 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 120 / 2 = 60

Beispiel einer Kombination ohne Wiederholung

Während die vorherige Formel das Ziehen derselben drei Kugeln in unterschiedlicher Reihenfolge als unterschiedliche Ergebnisse behandelt, sind sie in Kombination gleich. Wenn Sie die Anzahl der getroffenen Entscheidungen durch die Fakultät dividieren, können Sie Duplikate entfernen und das richtige Ergebnis finden. Da im Beispiel mit der Murmel jede Kombination aus drei Murmeln in einer von sechs Permutationen vorkommen kann, teilen Sie 60 durch 6, um herauszufinden, dass es 10 Kombinationen ohne Wiederholung gibt.

Sie können die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholungen auch mithilfe des Pascalschen Dreiecks ermitteln. Betrachten Sie die oberste Reihe des Dreiecks als Nullreihe, zählen Sie rückwärts bis zu der Reihe, die der Anzahl der Optionen für jedes Element entspricht, und zählen Sie dann die Anzahl der Optionen in dieser Reihe, um das Ergebnis zu ermitteln.

Gesamtkombinationen = 5! / (3! x (5 – 3)!) = 5! / (3! x 2!) = 120 / (6 x 2) = 120 / 12 = 10

Beispiel einer Kombination mit Wiederholung

Um eine Kombination mit Wiederholung zu berechnen, können Sie die Fakultät der Anzahl der Auswahlmöglichkeiten durch die Fakultät der Summe der Anzahl der Auswahlmöglichkeiten und der Gesamtzahl der Auswahlmöglichkeiten minus eins ersetzen. Ersetzen Sie dann die Fakultät der Anzahl der Auswahlmöglichkeiten minus eins durch die Fakultät der Anzahl der Auswahlmöglichkeiten minus der Anzahl der Auswahlmöglichkeiten. Die resultierende Formel gibt Ihnen die Anzahl der möglichen Kombinationen unter Berücksichtigung der Wiederholung an.

Legt ein Kind beispielsweise nach jedem Ziehen eine gezogene Murmel zurück in den Beutel, können Sie mit dieser Formel die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen berechnen, die entstehen, wenn drei Murmeln aus dem Beutel gezogen werden. Die Formel zeigt die Lösung von 35 Kombinationen mit Wiederholung beim Herausziehen von Bällen aus dem Beutel.

Gesamtkombinationen = (3 + 5 – 1)! / (3! x (5 – 1)!) = 7! / (3! x 4!) = 5040 / (6 x 24) = 5040 / 144 = 35