So berechnen Sie die Standardabweichung in 4 Schritten (mit Beispiel) • BUOM

29. Dezember 2021

Die Standardabweichung ist eine gängige mathematische Formel zur Messung des Abstands der Zahlen in einem Datensatz im Vergleich zum Durchschnitt dieser Zahlen. Während Studenten diese Formel in der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung verwenden, wird die Standardabweichungsformel im Finanzwesen verwendet, um Risiken zu bewerten, Renditen zu bestimmen und Portfoliomanager anzuleiten. In diesem Artikel besprechen wir, was Standardabweichung ist, wann sie berechnet werden muss, wie die Formel aussieht und wie sie mit der relativen Standardabweichung zusammenhängt.

Wichtigste Schlussfolgerungen

• Die Standardabweichung ist ein statistisches Maß dafür, wie weit ein Datenpunkt vom Mittelwert abweicht.

• Die Standardabweichung ist eine der wichtigsten Methoden, die Finanzanalysten und Portfoliomanager zur Bestimmung des Anlagerisikos verwenden.

• Es gibt zwei Arten von Standardabweichungen: Grundgesamtheit und Stichprobe. Bevölkerungsabweichungen sind am häufigsten.

Was ist Standardabweichung?

Die Standardabweichung ist ein statistisches Maß für den Betrag, um den eine Zahl von der durchschnittlichen Zahl in einer Reihe abweicht. Wenn Ihre Daten eng mit dem Mittelwert verknüpft sind, weisen sie eine geringe Standardabweichung auf, was bedeutet, dass Ihre Daten sehr zuverlässig sind. Wenn Ihre Daten nicht sehr eng mit dem Mittelwert zusammenhängen, weisen sie eine hohe Standardabweichung auf, was bedeutet, dass Ihre Daten nicht so zuverlässig sind.

Eine andere Möglichkeit, über die Standardabweichung nachzudenken, ist ein Maß für die Auszahlung bzw. für die Streuung Ihrer Daten. Auf diese Weise lässt sich messen, wie weit jeder Datenpunkt vom Mittelwert abweicht.

Es gibt zwei Versionen der Standardabweichungsformel:

• Populationsstandardabweichung: Sie verwenden die Populationsversion der Formel, wenn Sie die gesamte Population oder den gesamten Datensatz messen können. Es handelt sich um einen Parameter, der für jede Person oder jedes Objekt in der Population einen festen Wert berechnet. Dies ist die gebräuchlichste Version der Formel.

• Standardabweichung der Stichprobe. Sie verwenden eine Testversion einer Formel, wenn es nicht möglich ist, die gesamte Population oder den gesamten Datensatz zu messen. Es handelt sich um eine Statistik, das heißt sie wird nur für einen Teil der Bevölkerung berechnet. Sie arbeiten mit einer Zufallsstichprobe von Daten aus der Bevölkerung. Obwohl ein Versuch manchmal notwendig ist, ist er weniger genau und liefert nur eine Schätzung.

Mehr lesen: Was ist Standardabweichung? Wie es funktioniert und andere häufig gestellte Fragen

Wann ist die Standardabweichung zu berechnen?

Sie können die Standardabweichung nicht nur für Statistiken, Wahrscheinlichkeit, Chemie und Mathematik verwenden. Es gibt praktische Anwendungen in vielen Bereichen, insbesondere im Finanzwesen. Die Standardabweichung ist eines der wichtigsten Risikomaße, das von Analysten, Portfoliomanagern und Anlageberatern verwendet wird. Hier sind einige Beispiele:

• Zur Ermittlung können Sie die Standardabweichungsformel verwenden jährliche Rendite Investitionen oder untersuchen Sie die historische Investitionsvolatilität.

• Wertpapierfirmen verwenden möglicherweise die Standardabweichung, um ihre Investmentfonds und andere Produkte zu melden, da sie anzeigt, ob die Renditen der Fonds von den normalen Erwartungen abweichen.

• Sie können damit Leistungstrends vorhersagen oder bei Handelsstrategien auf dem Markt helfen.

• Dies kann Portfoliomanagern dabei helfen, zwischen aggressiven Wachstumsfonds mit einer hohen Standardabweichung und stabilen Wachstumsfonds mit einer niedrigeren Standardabweichung zu unterscheiden.

In realen Anwendungen lösen Sie die Standardabweichungsformel selten mit Bleistift und Papier. Die manuelle Berechnung der Formel nimmt viel Zeit in Anspruch und birgt ein hohes Fehlerrisiko. Mit der heutigen Technologie lösen Sie Standardabweichungsberechnungen normalerweise mithilfe von Computerprogrammen oder Tabellenkalkulationen.

Wenn Sie jedoch zum ersten Mal mit der Standardabweichungsformel vertraut gemacht werden, ist es hilfreich, einige Aufgaben manuell zu lösen, um ein Gefühl dafür zu bekommen und zu verstehen, wie die Formel tatsächlich funktioniert.

Standardabweichungsformel

Formel zur Berechnung der Standardabweichung:

So dass:

• σ = Standardabweichung

• μ = Durchschnitt aller Werte

• xi = einzelne x-Werte

• x = Wert im Datensatz

• N = Anzahl der Datenpunkte

• i = alle Werte von 1 bis N

Wichtige Notizen:

• σ – griechischer Buchstabe Sigma

• μ – griechischer Buchstabe mu

• ∑ – Sigma-Notation für die Summierung

• √ – Quadratwurzelsymbol

So berechnen Sie die Standardabweichung

Befolgen Sie diese Schritte und Beispiele, um die Standardabweichung mithilfe der Populationsstandardabweichungsformel zu berechnen:

1. Berechnen Sie den Durchschnitt der Zahlen in den Daten, mit denen Sie arbeiten.

Sie können den Durchschnitt, auch Durchschnitt genannt, ermitteln, indem Sie alle Zahlen in einem Datensatz addieren und sie dann durch die Anzahl der Zahlen im gesamten Satz dividieren.

Der Datensatz für dieses Beispielproblem ist beispielsweise 6, 8, 12, 14. Addieren Sie alle Zahlen im Datensatz und dividieren Sie dann durch 4, um den Durchschnitt von 10 zu erhalten.

(6 + 8 + 12 + 14) ÷ 4 = 10

2. Subtrahieren Sie jeweils den Durchschnitt und quadrieren Sie dann das Ergebnis.

Nehmen Sie jede der Zahlen im Datensatz und subtrahieren Sie davon den Mittelwert, der im Beispiel 10 beträgt. Nehmen Sie nach der Subtraktion jede Antwort und quadrieren Sie diese Zahl.

(6 – 10)2 = (-4)2 = 16

(8 – 10)2 = (-2)2 = 4

(12 – 10)2 = (2)2 = 4

(14 – 10)2 = (4)2 = 16

3. Bestimmen Sie den Durchschnitt der quadrierten Differenzen.

Ermitteln Sie dann den Durchschnitt der Zahlenmenge, die laut Beispiel nun 16, 4, 4 und 16 beträgt. Addieren Sie sie zusammen, um eine Summe von 40 zu erhalten, und dividieren Sie dann 40 durch vier. Antwort 10.

(16 + 4 + 4 + 16) ÷ 4 = 10

4. Ziehen Sie die Quadratwurzel

Ziehen Sie für den letzten Schritt die Quadratwurzel der obigen Antwort, die im Beispiel 10 ist.

Die Standardabweichung für diesen Zahlensatz beträgt 3,1622776601684. Der Einfachheit halber runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Tausendstel, um die Antwort 3,162 zu erhalten.

√10 = 3,1622776601684

Das bedeutet, dass der Mittelwert des Beispieldatensatzes 10 beträgt und jede der Zahlen im Datensatz ungefähr 3,162 Einheiten vom Mittelwert von 10 entfernt verteilt ist. Dies macht Sinn, wenn man sich den Datensatz von 6, 8, 12 ansieht und 14, da jede dieser Zahlen eine Standardabweichung von 3,162 Einheiten hat, was etwa 3,162 Einheiten entspricht und sich von der Zahl 10 unterscheidet.

Standardabweichung vs. relative Standardabweichung

Die relative Standardabweichung (RSD) ist eine spezielle Form der Standardabweichung, die unter bestimmten Umständen nützlicher ist. Sie verwenden es häufig in den Bereichen Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Chemie und Mathematik. Dies ist im Geschäftsleben nützlich, wenn Daten verglichen werden, beispielsweise im Finanzbereich wie der Börse.

Um die Antwort auf das Problem der relativen Standardabweichung zu finden, multiplizieren Sie die Standardabweichung mit 100 und dividieren dann dieses Produkt durch den Mittelwert, um es als Prozentsatz auszudrücken. Formel für die relative Standardabweichung:

(S * 100) ÷ X = relative Standardabweichung

In der Formel ist S die Standardabweichung und X der Mittelwert.

Beispiel

Wenn Sie vier Messungen haben: 51,3, 55,6, 49,9 und 52,0, und Sie die relative Standardabweichung ermitteln möchten, ermitteln Sie zunächst die Standardabweichung von 2,4. Nehmen Sie dann 2,4 und multiplizieren Sie mit 100, was 240 ergibt. Dann dividieren Sie 240 durch den Durchschnitt der vier Zahlen, was 52,2 entspricht, um 4,6 % zu erhalten.

(2,4 * 100) ÷ 52,2 = 4,6 %

Mehr lesen: So berechnen Sie die relative Standardabweichung: Formel und Beispiele