Definitionen, Typen und Beispiele • BUOM
29. April 2021
Bei der Lösung algebraischer Gleichungen kommen einige Gleichungstypen häufiger vor als andere. Es kann hilfreich sein, die Art der Gleichung zu identifizieren, an der Sie arbeiten, damit Sie die Eigenschaften dieser Gleichung bestimmen können. Die Kenntnis der spezifischen Eigenschaften der zu lösenden Gleichungsart kann Ihnen bei der Lösung des Problems helfen. In diesem Artikel besprechen wir, was Gleichungen sind, warum sie wichtig sind, die Gleichungsterminologie, verschiedene Arten von Gleichungen, Hauptkategorien von Gleichungen und Beispielgleichungen.
Was ist eine Gleichung?
Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, der den Wert zweier Ausdrücke so festlegt, dass sie einander gleich sind. Mit anderen Worten: Es handelt sich um einen mathematischen Satz, der besagt: „Dies ist gleich jenem.“ Es sieht aus wie ein mathematischer Ausdruck auf der linken Seite, ein Gleichheitszeichen in der Mitte und ein mathematischer Ausdruck auf der rechten Seite. Sehr oft ist der korrekte Verlauf der Gleichung Null.
Hier sind einige Beispiele für einfache und komplexere Gleichungen:
3 + 5 = 4 + 4.
dy/dx + x5y = x5y7
20×2 – 17x – 63 = 0
Wenn Sie eine Gleichung mit Variablen lösen, bestimmen Sie, welchen Wert die Variablen haben müssen, damit die Gleichung wahr ist. Sobald Sie den Wert der Variablen gefunden haben und die Variablen die Gleichung erfüllen und sie wahr machen, spricht man von einer Lösung. Die Identitätsgleichungen gelten für alle Werte der Variablen. Bedingte Gleichungen gelten nur für bestimmte Werte einer Variablen.
Warum sind Gleichungen wichtig?
Auch wenn es vielleicht nicht offensichtlich ist, sind mathematische Gleichungen ein wichtiger Teil der modernen Welt. Ohne Gleichungen würden viele der modernen Erfindungen, die Sie täglich nutzen, wie Computer, Fernseher, Satelliten und GPS, nicht existieren. Mathematische Gleichungen werden auch in vielen Branchen benötigt, beispielsweise in der Wirtschaftswissenschaft, der Medizin, dem Ingenieurwesen, der Physik und der Informatik, um nur einige zu nennen. Es gibt sogar einige berühmte Gleichungen, die die Art und Weise, wie Sie Ihr Leben leben, stark beeinflusst haben. Hier sind einige Beispiele:
Satz des Pythagoras: Diese Gleichung, a2 + b2 = c2, ist der Kern der Geometrie, die Grundlage der Trigonometrie und die Verbindung zur Algebra. Dadurch sind Kartierung, präzise Geodäsie und Navigation möglich. Es wird immer noch zur Triangulation verwendet, um Standorte mithilfe der GPS-Navigation zu lokalisieren.
Newtons universelles Gravitationsgesetz: Diese Gleichung F = G (m1m2/d2) wird verwendet, um zu beschreiben, wie die Welt funktioniert, und ist wichtig für das Verständnis, wie Objekte interagieren. Es wird immer noch verwendet, um Umlaufbahnen, Satelliten, Sonden und optimale Flugbahnen für den Start von Weltraummissionen zu entwerfen.
Ursprung komplexer Zahlen: Diese Gleichung, i2 = -1, ist für die Entwicklung der meisten modernen Technologien wichtig, und ohne sie gäbe es viele Erfindungen nicht. Es wird immer noch für Dinge wie Digitalkameras, Ingenieurwesen, Flugzeuge, komplexe Analysen und mathematische Theorie verwendet.
Einsteins Relativitätstheorie. Diese Gleichung E = mc2 ist vielleicht die berühmteste Gleichung der Geschichte, weil sie die Art und Weise, wie wir Realität und Materie betrachten, völlig verändert hat. Es wird immer noch bei Atomwaffen und globalen Positionierungssystemen eingesetzt.
Shannon-Informationstheorie: Diese Gleichung, H = – ∑ p(x) log p(x), führte zum Informationszeitalter und Ingenieure verwenden sie für fast alles, was mit der Erkennung von Codierungsfehlern zu tun hat. Es wird noch heute von CDs bis zur digitalen Kommunikation mit dem Internet verwendet.
Gleichungsterminologie
Um mathematische Gleichungen zu verstehen, müssen Sie auch die Begriffe verstehen, mit denen sie beschrieben und erklärt werden. Wenn Sie algebraische Gleichungen diskutieren, verwenden Sie häufig die folgenden mathematischen Begriffe:
Ausdruck: Zahlen, Symbole und Operatorzeichen, gruppiert, um ihre Bedeutung anzuzeigen.
Funktion: Eine mathematische Beziehung, bei der jede Eingabe eine Ausgabe hat.
Unabhängige Variable: der Eingabewert der Funktion.
Abhängige Variable: Funktionsausgabewert
Variable: Ein Symbol, das einen unbekannten Wert darstellt, normalerweise ein Buchstabe, wie z. B. x oder y.
Begriff: eine Zahl oder Variable oder mehrere miteinander multiplizierte Zahlen und eine Variable.
Konstante: Ein fester Wert wie eine Ganzzahl, manchmal dargestellt durch einen Buchstaben.
Koeffizient: Eine Zahl, die zum Multiplizieren einer Variablen verwendet wird und häufig vor der Variablen erscheint.
Exponent: Eine Zahl, die die Potenzierung einer Basiszahl darstellt.
Arten algebraischer Gleichungen
Hier sind die häufigsten Arten algebraischer Gleichungen:
Exponentialgleichungen: Variablen ersetzen Exponenten.
Lineare Gleichungen: Jeder Term ist eine Konstante oder das Produkt einer Konstante und einer Variablen.
Logarithmische Gleichungen: Der Logarithmus betrifft immer das Unbekannte.
Polynomgleichungen: Terme enthalten Unsicherheiten und Koeffizienten oder Variablen.
Irrationale Polynomgleichungen: Es gibt mindestens ein Polynom unter dem Wurzelzeichen.
Quadratische Gleichungen: Eine Variable enthält eine andere Variable mit einem Exponenten von zwei.
Kubische Gleichungen: Die größte Summe der Variablen in einem Term ist drei.
Gleichungen vierten Grades: Die größte Summe der Variablen in einem Term ist vier.
Gleichungen fünften Grades: Die größte Variablensumme in einem Term ist fünf.
Wurzelgleichungen: Der maximale variable Exponent beträgt 12 oder mehr als einen Term.
Rationale Gleichungen: Es gibt rationale Ausdrücke.
Transzendentale Gleichungen: Es gibt transzendente Funktionen.
Trigonometrische Gleichungen: Es gibt trigonometrische Funktionen.
Grundkategorien algebraischer Gleichungen
Es gibt fünf Hauptkategorien algebraischer Gleichungen, von denen jede unterschiedliche erwartete Eingaben hat und ein Ergebnis mit einer anderen Interpretation liefert. Sie können jede der fünf Kategorien anhand der Position der Variablen, des Verhaltens ihrer Diagramme und der verwendeten Funktions- und Operatortypen unterscheiden. Hier ist ein wenig über jede der fünf algebraischen Kategorien:
Polynomgleichungen
Polynomgleichungen haben auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens einen Polynomausdruck. Polynome haben variable Terme und ganzzahlige Exponenten. Sie können jede Polynomgleichung nach der Anzahl der Terme im Ausdruck klassifizieren:
Ein Begriff ist ein Monom.
Zwei Begriffe – Binomial.
Drei Begriffe sind ein Trinom.
Usw…
Sie können jede Polynomgleichung auch nach ihrem Grad klassifizieren, der dem größten Exponenten im Ausdruck entspricht:
Ein Grad ist linear.
Zwei Potenzen sind quadratisch.
Drei Grad Kubik.
Usw…
Dieses Polynom wäre beispielsweise ein kubisches Binomial: x3-5. Und dieses Polynom wäre ein quadratisches Trinom: y2 – y – 4.
Exponentialgleichungen
Exponentialgleichungen haben auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens einen Exponentialausdruck. Exponentialgleichungen ähneln Polynomgleichungen, außer dass ihre Exponenten einen variablen Term haben. Sie können Exponentialfunktionen so klassifizieren, dass sie exponentielles Wachstum zeigen, wenn die unabhängige Variable einen positiven Koeffizienten hat, oder dass sie exponentiellen Abfall zeigen, wenn die unabhängige Variable einen negativen Koeffizienten hat. Gleichungen für exponentielles Wachstum können die Ausbreitung von Krankheiten, das Bevölkerungswachstum oder den Zinseszins zeigen. Gleichungen für den exponentiellen Zerfall können wissenschaftliche Phänomene wie den radioaktiven Zerfall veranschaulichen.
Ein Exponentialausdruck könnte beispielsweise so aussehen: x = 6(y-8) + 12.
Logarithmische Gleichungen
Logarithmische Gleichungen haben auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens einen logarithmischen Ausdruck. Die Umkehrung von Exponentialgleichungen sind logarithmische Gleichungen. Die logarithmische Basis einer Zahl ist gleich dem Exponenten, mit dem Sie die Basis erhöhen, um die Zahl zu erhalten. Beispielsweise ist der log2 von 25 5, weil 2 hoch 5 25 ist. Die häufigste logarithmische Basis ist die transzendente Zahl „e“, die oft als natürlicher Logarithmus bezeichnet wird. Viele Arten von Intensitätsskalen verwenden Logarithmen, beispielsweise die Dezibelskala zur Messung von Schall oder die Richterskala zur Messung von Erdbeben. Die Dezibelskala hat eine logarithmische Basis von 10. Wenn also ein Ton um ein Dezibel zunimmt, ist das eine Verzehnfachung.
Wenn Sie beispielsweise einen Exponentialausdruck x = 4y haben, wäre der inverse oder logarithmische Ausdruck x = log4 y.
Rationale Gleichungen
Rationale Gleichungen haben auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens einen rationalen Ausdruck. Algebraische Gleichungen sind rational, wenn sie die Form b(x) / d(x) annehmen, wobei b(x) und d(x) Polynome sind. Rationale Gleichungen haben oft Asymptoten, bei denen man sich den Werten von x und y im Diagramm der Gleichungen annähert, diese aber nie erreicht.
Eine rationale Gleichung mit einer vertikalen Asymptote hat einen Wert von x, den der Graph nie erreicht, und der Wert von y kann auf unbestimmte Zeit entweder negativ oder positiv werden, wenn sich der Wert von x der Asymptote nähert. Eine rationale Gleichung mit einer horizontalen Asymptote hat einen y-Wert, den der Graph nie erreicht, und der x-Wert kann auf unbestimmte Zeit entweder negativ oder positiv werden, wenn sich der y-Wert der Asymptote nähert.
Ein rationaler Ausdruck könnte beispielsweise so aussehen: (y-4)/(y2 – 6y + 3).
Trigonometrische Gleichungen
Trigonometrische Gleichungen haben auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens einen trigonometrischen Ausdruck. Die trigonometrischen Funktionen tan, cos, sin cot, csc und sec kommen in trigonometrischen Gleichungen vor und beschreiben die Beziehung zwischen zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Das Winkelmaß ist die unabhängige Variable oder Eingabe, und das Verhältnis ist die abhängige Variable oder Ausgabe. Das Einzigartige an trigonometrischen Funktionen ist, dass sie periodisch sind, was bedeutet, dass sich ihr Graph nach einer bestimmten Zeit wiederholt.
Beispielsweise beschreibt der trigonometrische Ausdruck x = sin y das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zu seiner Hypotenuse mit dem Maß des Winkels y.
Beispiele für Gleichungen
Hier sind einige Beispiele für algebraische Gleichungen:
Beispiel 1
Hier ist eine Gleichung, die in einem Schritt gelöst werden kann:
x + 5 = 9
x = 9 – 5
x = 4
Beispiel 2
Hier ist eine Gleichung, die in zwei Schritten gelöst werden kann:
3x + 4 = 16
3x = 12
x = 12/3
x = 4
Beispiel 3
Hier ist eine mehrstufige Gleichung, die mehr als zwei Schritte umfasst:
4x + 3 = x + 12
4x – x = 12 – 3
3x = 9
x = 9/3
x = 3
Beispiel 4
Hier ist die lineare Gleichung:
(2x+5) / (x+4) = 1
2x+5 = 1(x+4)
2x+5 = x+4
2x-x = 4-5
x = -1
Beispiel 5
Hier ist eine weitere lineare Gleichung:
x+12 = x2 -2
x2+2x+1 = x2-2
x2-x2+2x+1 = -2
2x+1 = -2
2x+4 = 0
2(x+2) = 0
x+2 = 0
x = -2
Beispiel 6
Hier ist die radikale Gleichung:
√х-7 = 3
(√х-7)2 = 32
x-7 = 9
x = 16
Beispiel 7
Hier ist eine weitere radikale Gleichung:
√2x-2 = x-1
(√2x-2)2 = (x-1)2
2x-2 = (x-1)(x-1)
2x-2 = x2-2x+1
0 = x2-4x+3
0 = (x-1)(x-3)
Beispiel 8
Hier ist die rationale Gleichung:
5/x – 5/6 = 5/3
(6x) 5/x – 5/6 = 5/3 (6x)
30 – 5x = 10X
(+5x) 30 – 5x = 10X (+5x)
30 = 15x
2 = S
Beispiel 9
Hier ist die logarithmische Gleichung:
log(2x) = 4
10log(2x) = 104
2x = 104
2x = 10 000
x = 5000
Beispiel 10
Hier ist eine weitere logarithmische Gleichung:
2+5log3(x-1) = 12
5log3(x-1) = 10
log3(x-1) = 2
3log3(x-1) = 32
x-1 = 32
x-1 = 9
x = 10