Что такое математические комбинации и как их вычислить

17 мая 2021 г.

Комбинации — это математические фигуры, которые статистики, аналитики данных, инженеры-программисты и другие технические специалисты часто применяют в своей карьере. Комбинация представляет собой неупорядоченный набор элементов в ряду механизмов и может применяться во многих областях, включая информационные технологии, здравоохранение, финансы и бухгалтерский учет. Если вы хотите узнать больше о комбинациях, необходимо учитывать несколько факторов.

В этой статье мы обсудим, что такое комбинации, какая формула вам нужна, чтобы найти, сколько у вас есть комбинаций, как рассчитать комбинации и чем комбинации отличаются от перестановок.

Что такое комбинация?

Комбинация относится к количеству аранжировок, которые вы можете получить, взяв выборку значений или элементов из большего набора. Комбинации, которые вы можете составить, показывают, сколько подмножеств вы можете составить из всего набора элементов. В математической комбинации порядок элементов неважен. Это означает, что вы можете формировать комбинации в любом порядке, хотя некоторые комбинации приводят к упорядоченной последовательности, что приводит к перестановке. Кроме того, комбинации могут быть повторяющимися или неповторяющимися, например, комбинации (0, 0, 1, 1, 2, 3) и (0, 1, 2, 3, 4) соответственно.

Формула для определения того, сколько у вас комбинаций

Формула C(n, r) = (n!)/ [(r!) x (n – r)!] вычисляет количество способов, которыми вы можете получить расположение неповторяющихся элементов (r) из большего набора отдельных элементов (n) и где порядок не имеет значения. Формула для вычисления комбинаций также требует вычисления факториалов, которые являются произведениями всех положительных целых чисел, равных и меньших числа, которое вы вычисляете. Факториал в формуле комбинации отображается как (!), который представляет функции факториала, которые необходимо применить в ходе расчета.

Как рассчитать комбинации

Воспользуйтесь формулой C(n, r) = (n!)/ [(r!) x (n – r)!] и следующие шаги, чтобы рассчитать, сколько комбинаций вы можете получить из выборки:

1. Определите ваши значения r и n

Найдите свои значения r и n, выбрав меньший набор элементов из большего набора.

Например, предположим, что у вас есть восемь книг на полке, и вы хотите выбрать четыре книги для чтения. В формуле (r) представляет выборку из четырех выбранных вами книг, а (n) представляет больший набор из восьми книг. Когда вы определите эти значения, подставьте их вместо переменных (r) и (n) в формулу:

С(п, г) = (8!)/ [(4!) x (8 – 4)!]

2. Вычтите значение r из значения n.

Когда вы определяете свой выборочный набор и больший набор для переменных r и n в формуле, вычтите эти два значения. Используя пример n = 30 книг и r = 10 книг на предыдущем шаге, найдите разницу:

С(п, г) = (8!)/ [(4!) x (8 – 4)!] знак равно

С(п, г) = (8!)/ [(4!) x (4)!]

3. Разверните факториалы

Теперь, когда вы упростили выражения в формуле, вы можете приступить к вычислению каждого факториала в задаче. В примере с большим набором из восьми книг, выборочным набором из четырех книг и разницей, которую вы найдете при вычитании этих значений, раскройте каждый факториал в формуле:

8! = 8 х 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 и

4! х 4! = 4 х 3 х 2 х 1 х 4 х 3 х 2 х 1

4. Отменить подобные термины и разделить

Прежде чем делить ваши факториалы в формуле, вы можете отменить одинаковые члены между ними, поскольку эти значения связаны через деление. Между 8! и (4! x 4!), общие термины включают 4, 3, 2, 1 как в верхней, так и в нижней части дробной части уравнения. Отмена этих условий приводит к:

C(n, r) = (8 х 7 х 6 х 5) / (4 х 3 х 2 х 1) =

С(п, г) = (1680) / (24) =

С(п, г) = 70

Результат равен 70, что означает, сколько комбинаций вы можете получить, выбирая четыре книги из восьми, когда n ≥ r ≥ 0. Это означает, что все значения, с которыми вы работаете, должны быть больше или равны нулю, а ваш (n ) значение должно быть больше или равно вашему значению (r). Кроме того, при вычислении количества комбинаций, которые вы получаете, используя эту формулу, ваши значения не должны повторяться, где порядок не имеет значения.

Комбинации против перестановок

Комбинации могут иметь как повторяющиеся, так и неповторяющиеся аранжировки. Однако порядок, в котором вы найдете эти механизмы, не имеет значения. Однако с перестановками порядок становится важным, поскольку перестановки должны происходить в упорядоченном наборе. Один из способов запомнить разницу между этими двумя понятиями состоит в том, что перестановка — это упорядоченная комбинация.

Как и в случае комбинаций, перестановки также могут иметь повторяющиеся или неповторяющиеся значения в наборе. Например, предположим, что вы хотите найти комбинацию к замку. Комбинация с замком представляет собой перестановку, в которой порядок чисел важен для работы комбинации. Однако у вас может быть повторяющаяся перестановка для комбинации замка (например, комбинация 4, 4, 4) или неповторяющаяся перестановка (например, 3, 4, 5).

Примеры

Для расчета комбинаций, когда порядок имеет значение, как и в случае с перестановками, вы можете использовать две формулы:

• Повторяющаяся перестановка = n ^ r, где (n) представляет различные типы элемента, а (r) представляет меньший набор типов, которые вы выбираете (n).

• Неповторяющаяся перестановка = (n!) / (n – r)!, где (n!) — факториальная функция всего набора, из которого вы выбираете (r) количество элементов.

Используя эти формулы, вы можете найти перестановки в следующем примере задачи:

Предположим, вы хотите найти комбинацию к замку, и у вас есть шесть чисел для выбора. Шесть представляет ваше значение (n) в обеих формулах. Если для замка требуется три числа для комбинации, три становятся вашим значением (r) или меньшим подмножеством, которое вы выбираете из всего набора. Чтобы узнать, сколько комбинаций можно получить с повторяющимися значениями, используйте формулу n^r:

п^г = (6) ^ (3) =

*6 х 6 х 6 = 216

Это означает, что вы можете найти 216 возможных комбинаций с повторяющимися значениями. Однако, если комбинация блокировки имеет неповторяющиеся значения, вы используете формулу (n!) / (n – r)! для расчета возможных комбинаций для каждого из трех элементов, которые вы выбираете из шести значений в наборе:

(н!) / (н – р)! знак равно

(6!) / (6 – 3)! знак равно

(6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1) / (3)! знак равно

(6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1) / (3 х 2 х 1) =

6 х 5 х 4 / 1 =

120/1 = 120

Этот результат показывает, что существует 120 возможных комбинаций для блокировки со значениями, расположенными в перестановках. Подобно вычислению комбинаций, в которых порядок не имеет значения, при вычислении неповторяющихся перестановок вы можете просто уменьшить факториалы, общие для каждого фактора, который вы делите в формуле.