Алгебраические математические уравнения: определения, типы и примеры

29 апреля 2021 г.

При решении алгебраических уравнений некоторые типы уравнений встречаются чаще, чем другие. Вам может быть полезно определить тип уравнения, над которым вы работаете, чтобы вы могли определить свойства этого уравнения. Знание конкретных свойств типа уравнений, которые вы решаете, может помочь вам решить проблему. В этой статье мы обсудим, что такое уравнения, почему они важны, терминологию уравнений, различные типы уравнений, основные категории уравнений и примеры уравнений.

Что такое уравнение?

Уравнение — это математическое выражение, которое устанавливает значение двух выражений равными друг другу. Другими словами, это математическое предложение, которое говорит: «это равно тому». Это выглядит как математическое выражение слева, знак равенства посередине и математическое выражение справа. Очень часто правильный ход уравнения равен нулю.

Вот несколько примеров простых и более сложных уравнений:

3 + 5 = 4 + 4.

dy/dx + x5y = x5y7

20х2 – 17х – 63 = 0

Когда вы решаете уравнение с переменными, вы определяете, какое значение должны иметь переменные, чтобы уравнение было верным. Как только вы найдете значение переменных, и переменные удовлетворяют уравнению, что делает его истинным, это называется решением. Уравнения тождества верны для всех значений переменной. Условные уравнения верны только для определенных значений переменной.

Почему уравнения важны?

Хотя это может быть неочевидно, математические уравнения являются важной частью современного мира. Без уравнений не было бы многих современных изобретений, которыми вы пользуетесь каждый день, таких как компьютеры, телевизоры, спутники и GPS. Математические уравнения также необходимы во многих отраслях, таких как экономика, медицина, инженерия, физика и информатика, и это лишь некоторые из них. Есть даже несколько известных уравнений, которые сильно повлияли на то, как вы живете. Вот некоторые примеры:

• Теорема Пифагора: Это уравнение, a2 + b2 = c2, является ядром геометрии, основой тригонометрии и связующим звеном с алгеброй. Благодаря этому существует картографирование, точная геодезия и навигация. Он до сих пор используется для триангуляции для точного определения местоположения с помощью GPS-навигации.

• Универсальный закон всемирного тяготения Ньютона: это уравнение F = G (m1m2/d2) используется для описания того, как функционирует мир, и имеет важное значение для понимания того, как взаимодействуют объекты. Он до сих пор используется для проектирования орбит, спутников, зондов и оптимальных траекторий для запуска космических миссий.

• Происхождение комплексных чисел: это уравнение, i2 = -1, важно для создания большинства современных технологий, и без него не было бы многих изобретений. Он до сих пор используется для таких вещей, как цифровые камеры, проектирование, самолеты, комплексный анализ и математическая теория.

• Теория относительности Эйнштейна. Это уравнение E = mc2, пожалуй, самое известное уравнение во всей истории, поскольку оно полностью изменило взгляд на реальность и материю. Он до сих пор используется с ядерным оружием и глобальными системами позиционирования.

• Теория информации Шеннона: Это уравнение, H = – ∑ p(x) log p(x), привело к веку информации, и инженеры используют его практически для всего, что связано с обнаружением ошибок при кодировании. Он все еще используется сегодня от компакт-дисков до цифровой связи с Интернетом.

Терминология уравнений

Чтобы понимать математические уравнения, вам также необходимо понимать термины, используемые для их описания и объяснения. При обсуждении алгебраических уравнений вы часто используете следующие математические термины:

• Выражение: числа, символы и знаки операций, сгруппированные вместе для отображения значения.

• Функция: математическая зависимость, в которой каждый вход имеет один выход.

• Независимая переменная: входное значение функции.

• Зависимая переменная: выходное значение функции

• Переменная: символ, представляющий неизвестное значение, обычно это буква, например x или y.

• Термин: одно число или переменная или несколько чисел и переменная, умноженные вместе.

• Константа: фиксированное значение, такое как целое число, иногда представленное буквой.

• Коэффициент: число, используемое для умножения переменной, часто появляющееся перед переменной.

• Показатель степени: число, обозначающее операцию возведения основного числа в степень.

Типы алгебраических уравнений

Вот наиболее распространенные типы алгебраических уравнений:

• Экспоненциальные уравнения: переменные заменяют показатели степени.

• Линейные уравнения: каждый член является константой или произведением константы и одной переменной.

• Логарифмические уравнения: логарифм всегда влияет на неизвестное.

• Полиномиальные уравнения: Термины содержат неопределенности и коэффициенты или переменные.

• Иррациональные полиномиальные уравнения: существует по крайней мере один многочлен под знаком радикала.

• Квадратные уравнения: одна переменная содержит другую переменную с показателем степени два.

• Кубические уравнения: наибольшая сумма переменных показателей в любом члене равна трем.

• Уравнения четвертой степени: наибольшая сумма переменных показателей в любом члене равна четырем.

• Уравнения пятой степени: наибольшая сумма переменных показателей в любом члене равна пяти.

• Радикальные уравнения: Максимальный переменный показатель степени равен 12 и более одного члена.

• Рациональные уравнения: Существуют рациональные выражения.

• Трансцендентные уравнения: существуют трансцендентные функции.

• Тригонометрические уравнения: существуют тригонометрические функции.

Основные категории алгебраических уравнений

Существует пять основных категорий алгебраических уравнений, каждая из которых имеет разные ожидаемые входные данные и приводит к результату с различной интерпретацией. Вы можете различать каждую из пяти категорий по положению переменной, поведению их графиков и типам используемых функций и операторов. Вот немного о каждой из пяти алгебраических категорий:

Полиномиальные уравнения

Полиномиальные уравнения имеют полиномиальное выражение по обе стороны от знака равенства. Многочлены имеют переменные члены и целые показатели степени. Вы можете классифицировать каждое полиномиальное уравнение по количеству членов в выражении:

• Один член является мономом.

• Два члена – биномиал.

• Три члена – это трехчлен.

• И так далее…

Вы также можете классифицировать каждое полиномиальное уравнение по его степени, которая является наибольшим показателем степени в выражении:

• Одна степень линейна.

• Две степени квадратичны.

• Три градуса кубические.

• И так далее…

Например, этот полином будет кубическим биномом: x3-5. И этот многочлен был бы квадратным трехчленом: у2 — у — 4.

Экспоненциальные уравнения

Показательные уравнения имеют экспоненциальное выражение по обе стороны от знака равенства. Экспоненциальные уравнения похожи на полиномиальные уравнения, за исключением того, что их показатели степени имеют переменный член. Вы можете классифицировать экспоненциальные функции как показывающие экспоненциальный рост, когда независимая переменная имеет положительный коэффициент, или показывающие экспоненциальное затухание, когда независимая переменная имеет отрицательный коэффициент. Уравнения для экспоненциального роста могут демонстрировать распространение болезней, рост населения или сложные проценты. Уравнения для экспоненциального распада могут продемонстрировать такие научные явления, как радиоактивный распад.

Например, экспоненциальное выражение может выглядеть так: x = 6(y-8) + 12.

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения имеют логарифмическое выражение по обе стороны от знака равенства. Обратными показательными уравнениями являются логарифмические уравнения. Логарифмическое основание числа равно показателю степени, до которого вы возводите основание, чтобы получить число. Например, log2 числа 25 равно 5, потому что 2 в 5-й степени равно 25. Наиболее распространенной логарифмической основой является трансцендентное число «е», которое часто называют натуральным логарифмом. Во многих типах шкал интенсивности используются логарифмы, например шкала децибел для измерения звука или шкала Рихтера для измерения землетрясений. Шкала децибел имеет логарифмическую основу 10, поэтому, если звук увеличивается на один децибел, это десятикратное увеличение.

Например, если у вас есть экспоненциальное выражение x = 4y, то обратное или логарифмическое выражение будет x = log4 y.

Рациональные уравнения

Рациональные уравнения имеют рациональное выражение по обе стороны от знака равенства. Алгебраические уравнения рациональны, когда они принимают форму b(x) / d(x), где b(x) и d(x) — полиномы. Рациональные уравнения часто имеют асимптоты, где значения x и y на графике уравнений приближаются, но никогда не достигают.

Рациональное уравнение с вертикальной асимптотой имеет значение x, которого график никогда не достигает, а значение y может либо стать отрицательным, либо положительным до бесконечности, когда значение x приближается к асимптоте. Рациональное уравнение с горизонтальной асимптотой имеет значение y, которого график никогда не достигает, а значение x может стать как отрицательным, так и положительным до бесконечности по мере того, как значение y приближается к асимптоте.

Например, рациональное выражение может выглядеть так: (у-4)/(у2 – 6у + 3).

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения имеют тригонометрическое выражение по обе стороны от знака равенства. Тригонометрические функции tan, cos, sin cot, csc и sec находятся в тригонометрических уравнениях и описывают отношение между двумя сторонами прямоугольного треугольника. Мера угла является независимой переменной или входом, а отношение является зависимой переменной или выходом. Уникальным фактом о тригонометрических функциях является то, что они периодические, а это означает, что через определенное время их график повторяется.

Например, тригонометрическое выражение x = sin y описывает отношение противоположной стороны прямоугольного треугольника к его гипотенузе с мерой угла y.

Примеры уравнений

Вот несколько примеров алгебраических уравнений:

Пример 1

Вот уравнение, которое можно решить за один шаг:

х + 5 = 9

х = 9 – 5

х = 4

Пример 2

Вот уравнение, которое можно решить в два этапа:

3х + 4 = 16

3х = 12

х = 12/3

х = 4

Пример 3

Вот многошаговое уравнение, которое состоит из более чем двух шагов:

4х + 3 = х + 12

4х – х = 12 – 3

3х = 9

х = 9/3

х = 3

Пример 4

Вот линейное уравнение:

(2x+5) / (x+4) = 1

2х+5 = 1(х+4)

2х+5 = х+4

2х-х = 4-5

х = -1

Пример 5

Вот еще одно линейное уравнение:

х+12 = х2 -2

х2+2х+1 = х2-2

х2-х2+2х+1 = -2

2x+1 = -2

2х+4 = 0

2(х+2) = 0

х+2 = 0

х = -2

Пример 6

Вот радикальное уравнение:

√х-7 = 3

(√х-7)2 = 32

х-7 = 9

х = 16

Пример 7

Вот еще одно радикальное уравнение:

√2x-2 = x-1

(√2x-2)2 = (x-1)2

2x-2 = (x-1)(x-1)

2х-2 = х2-2х+1

0 = х2-4х+3

0 = (х-1)(х-3)

Пример 8

Вот рациональное уравнение:

5/х – 5/6 = 5/3

(6х) 5/х – 5/6 = 5/3 (6х)

30 – 5х = 10Х

(+5x) 30 – 5x = 10X (+5x)

30 = 15х

2 = х

Пример 9

Вот логарифмическое уравнение:

журнал (2x) = 4

10log(2x) = 104

2х = 104

2x = 10 000

х = 5000

Пример 10

Вот еще одно логарифмическое уравнение:

2+5log3(x-1) = 12

5log3(x-1) = 10

log3 (х-1) = 2

3log3(x-1) = 32

х-1 = 32

х-1 = 9

х = 10